人工知能の数学的基礎-線形代数2：ベクトルの内積、内積、量積、外積

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1.内積

1.1。定義

内積は、内積および内積とも呼ばれ、実数R上の2つのベクトルを受け入れ、実数値のスカラーを返す2項演算を指します。

2つのベクトルa = [a1、a2、…、an]とb = [b1、b2、…、bn]の内積は、a
・b = a1 b1 + a2 b2 +……+ an * bnとして定義されます。

行列の乗算を使用し、（列）ベクトルをn×1行列として扱います。ドット積は次の
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ように書くこともできます。上記の定義方法は代数的定義です。つまり、ベクトルaとbのドット積は積に等しくなります。 aの転置行列と行列bの。ベクトルは、幾何学的問題を代数的問題に変換するブリッジです。実際、ベクトル内積の計算は、幾何学的手法を使用して計算することもできます。

1.2。内積の幾何学的計算方法

そこに二次元空間における2つのベクトルaとbがあり、それらの間の角度はθであると仮定する（区間は[0、π]）、その後、内積は以下の実数のように定義される：
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特に、もしベクトルaはそれ自体で乗算され、θは0、cosθ= 1、右側はベクトルaの係数の二乗になり、左側はベクトルaとそれ自体の転置行列の積になるため、前のセクションの単位ベクトル方程式：

関連する記号については、「https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/112410587 Artificial Intelligence Mathematical Foundation-Linear Algebra 1：Vector Definition and Vector AdditionandSubtraction」の紹介を参照してください。

注：この定義は、2次元および3次元の空間にのみ有効です。

1.3、運用法

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詳細については、BaiduLibraryのドット積の紹介を参照してください。

1.4直交ベクトル

直交ベクトルとは、内積がゼロである2つ以上のベクトルを指します。

2つのベクトルが直交している場合、それらは互いに垂直であることを意味し、ベクトルαとβが直交している場合、それらはα⊥βとして記録されます。

直交ベクトルグループは、ゼロ以外のペアワイズ直交ベクトル、つまり内積が0のベクトルのグループです。

直交ベクトル群に対応する各ベクトルが単位ベクトルである場合、これらのベクトルは単位直交ベクトルと呼ばれます。

y1、...、ynをn単位の直交ベクトルグループとすると、その中の任意の2つのベクトルの内積は次のようになります。
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ここで、（yi、yj）はyiとyjの内積を表します。

第二に、外積

2.1、外積の定義

外積は、ベクトル積、外積、外積、外積、ベクトル積とも呼ばれます。ベクトルaとベクトルbの外積は、元のベクトルaとbに垂直なベクトルcを形成します。cの長さは等しいaとbによって形成される平行四辺形の領域に。2つのベクトルaとbの外積は、次のように表されます。
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ベクトルaとbの外積の係数と、ベクトルaの係数およびベクトルbの係数の関係は次のとおりです。

ここで、θはベクトル間の角度です。 aとベクトルb。

2.2。右手の法則と外積の方向

3次元座標系では、x、y、zは3つの座標軸です。右手の法則は、右手の手のひらと4本の指をx軸の正の方向から正の側に伸ばすことです。 y軸の場合、親指の方向は正のz軸の方向です。

ベクトルaとbの外積ベクトルcは、ベクトルaとベクトルbに垂直であり、方向は右手の法則に準拠しています。

2.3外積の代数表現

3次元座標系で、ベクトルa（x1、y1、z1）とベクトルb（x2、y2、z2）の外積座標は次のように計算できると仮定します。

a × b = (x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1*z2-y2*z1,z1*x2-z2*x1,x1*y2-x2*y1)

2.4、外積関連の式

入力の問題により、次の式の英字は、特に指定がない限り、ベクトルを表します。

非対称性：a×b = -b×a
分配法則：a×（b + c）= a×b + a×c
ダブル（ダブル）外積式：a × (b×c )= b(a · c) − c(a ·b) 或 a×(b×c)=-(b×c)×a=(a·c)b-(a·b)c
a×a = 0
（Ka）×b = a×（kb）= k（a×b）、ここでkは実数、aとbはベクトルです。

外積の詳細については、BaiduBaikeの外積の説明を参照してください。

3、まとめ

この記事では、ベクトルの内積と外積の概念、および関連する計算式を紹介します。

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人工知能の数学的基礎の詳細について
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