線形代数2-線形に関連する同等の命題とそれらに関連するいくつかの結果
線形に関連する同等の命題
ベクトルグループα1、α2、...、αmは線形に関連しています<==>ベクトルグループα1、α2、...、αmの少なくとも1つのベクトルは、他のベクトルによって線形に表現できます。
最初に、左側が右側に推定できることを証明します。
ベクトルグループα1、α2、...、αmが線形に関連している場合、すべて0ではないm個の実数k1、k2、...、kmがあります。 、k1α1+k2α2+k3α3+···+kmαm= 0が成り立つ;
km≠0、方程式の両辺が同時に÷kmであると仮定すると、次のようになります。
（k1 / km）α1+（k2 / km） α2+（k3 / km）α3+···+αm= 0;項を
移動すると、次のようになります
。αm=-（k1 / km）α1-（k2 / km）α2-···-（km-1 / km）αm-1;
結論：つまり、αmは残りのm-1ベクトルで構成できます
結論は線形式から導き出されます：つまり、線形に関連するベクトルグループがある場合、次のようになります。残りのベクトルによって線形に表現できる少なくとも1つのベクトル、
そして右側
が左側から導出できることを証明します。αmがα1、α2、···から導出できると仮定すると、αm-1は線形に表現されます。は：
am =k1α1+k2α2+···+km-1αm-1;
上記の式の項をシフトすると、次のようになります
。k1α1+k2α2+···+km-1αm-1-αm= 0;
∵すべてが0ではないk個の実数、k1、k2、···、km-1、-1、したがって
k1α1+k2α2+···+km-1αm-1+kmαm= 0が成り立つ（km = -1）
∴ベクトルグループα1、α2、···、αm-1、αmは線形に関連する
結論です：ベクトルグループα1、α2、···、αmの少なくとも1つのベクトルが他のベクトルによって線形に表現できる場合、ベクトルグループは線形に関連しています
線形独立の同等の命題
線形独立の等価命題と関連する証明から、線形独立の等価命題を導き出すことができます。
ベクトルグループα1、α2、···、αmは線形独立です<==>ベクトルαxは残りのベクトルによって線形化できません。
その他の命題1
ベクトルグループα1、α2、···、αmが線形独立であり、α1、α2、···、αm、βが線形関係にある場合、βはα1、α2、···、αm、とは唯一のショーです。
証明：
α1、α2、...、αm、βが線形に関連しているとすると、m + 1個の実数k1、k2、...、km、km + 1
があり、すべてゼロではないため、k1α1+k2α2 +···+kmαm+ km +1β= 0が成り立つ;
そしてkm + 1≠0;
km + 1 = 0の場合、上記の条件は次のように表すことができます。すべてのゼロではなく、km
はk1α1+k2α2+···+kmαm= 0を保持します。つまり、km + 1 = 0の場合、α1、α2、···、αmは線形に関連していると推定できます。タイトルと矛盾します。
したがって、km + 1≠0;