【上級代数】線形空間 - 知識のまとめ

1. コレクション、マッピング

数値フィールド: P を、0 と 1 を含む複素数のコレクションとします。P 内の任意の 2 つの数値の和、差、積、または商 (除数が 0 ではない) が P 内の数値のままである場合、それは P と呼ばれます。は数値フィールドです。

共通数体: 複素数体 C、実数体 R、有理数体 Q。

集合: 全体として見たものの束を指します。たとえば、直線は点の集合であり、連立一次方程式のすべての解は集合、つまり解集合を形成します。

要素: セットを構成するものはセットの要素と呼ばれます。

コレクションの記述方法：

1. ^{記述方法: M = {(x, y) | x 2} +y ²
   = 4, x,y∈R}など、M={ x | x はプロパティ P を持ちます}
2. 列挙方法: M={a ₁ , a ₂ ,…,a _n }
   (例: N={0,1,2,3,…)
3. 空のコレクション: 要素が含まれていません。例としては、解のない線形方程式系に対する一連の解があります。

コレクション間の関係:

1. B は A の部分集合であり、B は A に含まれると言われます
2. A と B は等しいので、A=B として記録されます。

集合間の演算: 積集合、和集合

マッピング: M と M´ を 2 つの指定された空でない集合とする. 対応するルール σ がある場合, このルール σ を通じて M の各要素 a に対して, 一意に決定された要素 a´ があり, それが対応する場合, σ は次のようになりますM から M' へのマッピングと呼ばれ、σ で示されます。M → M' は、 a
' をマッピング σ に基づく a のイメージと呼び、a はマッピング σ に基づく a' の **前イメージと呼ばれ、** は σ として記録されます。 (a)=a' または σ: a↦a'

集合 M から M への写像自体をM の変換と呼びます。

写像 σ: M → M' とすると、集合 σ(M) = {σ(a)|a∈M} は写像 σ の下での M の画像と呼ばれ、通常は Imσ と表されます。明らかに、Imσ ⊆ M'

単位マップ: σ は各要素をそれ自体にマップします。これは集合 M の単位マップまたは単位マップと呼ばれ、I _Mで示されます。

関数: 関数はマップの特殊なケースと考えることができます。

写像乗算: 写像 σ: M → M'、τ: M' → M''、積 τσ を (τσ)(a)=τ(σ(a)) として定義します。つまり、次のように定義します。 σ と τ を実装すると、 M から M へのマッピングになります。

写像の乗法結合法則: 写像 σ: M → M'、τ: M' → M''、φ: M'' → M'''、(φτ)σ = φ(τσ) とします。

マッピングの性質: マッピング σ: M → M' とします。

1. Imσ = M'、つまり任意の y ∈ M' に対して x ∈ M が存在し、y = σ(x) となる場合、σ は M から M' への全射であると言われます (または σ はマッピングと呼ばれます)。);

2. M の異なる要素のイメージも異なる場合、つまり a ₁ ≠ a _{2 がσ(a 1} ) ≠ σ(a ₂ )でなければならない場合、σ はM から M´ (または σへの単射詞) と呼ばれます。は1— 1 );

3. σ が単射と全射の両方である場合、σ は全単射と呼ばれます(または σ は 1-1 対応と呼ばれます)。

   有限集合の場合、2 つの集合間に全単射が存在するための必要十分条件は、それらが同じ数の要素を含むことです。

   有限集合 A とその部分集合 B の場合、B≠A (つまり、B が A の適切な部分集合である) の場合、A と B の間に 1 対 1 の対応はあり得ませんが、これは必ずしも当てはまりません。無限セット。

可逆写像: 写像 σ: M → M' とし、写像 τ: M' → M がある場合、τσ = I _M、στ = I _Mとなるように、σ は可逆写像と呼ばれ、τ はその逆写像と呼ばれます。 σ のマッピング。 σ ^-1として示されます。

• σ が可逆写像である場合、σ ^-1も可逆写像であり、(σ ^-1 ) ^-1 =σ
• 若σ(a) = a'，则 σ ^-1 (a') = a
• σ が可逆写像であるための必要十分条件は、σ が に対応する 1-1 であることです。

2. 線形空間の定義と簡単な性質

線形空間を導入する目的：一次方程式の解は存在するのか、解は何個あるのか、解が無限にある場合の解集合の構造を調べること

線形空間の定義: V が空でない集合、P が数値体、そして加算と呼ばれる代数演算が集合 V で定義されていると仮定します。つまり、 ∀ɑ、β ∈ V に対して、一意の演算が存在します。 V の要素 γ はそれらに対応し、、 γ = ɑ + β で示されます。また、P と V の要素の間には、量的乗算と呼ばれる演算が定義されています。つまり、 ∀ɑ ∈ V, ∀k ∈ P とすると、V には固有の要素 δ があり、それらは対応しており、δ は k と α の積と呼ばれ、δ=kα と記録されます。

加算と乗算が閉じており、次の 8 つの演算規則を満たす場合、 V は数体 P 上の線形空間と呼ばれます。

追加ルール:

• a + b = b + a

• (α + β) + γ = α + (β + γ)

• V には要素 0 があり、∀ɑ ∈ V の場合、α + 0 = α

  (この性質を持つ要素 0 を V のゼロ要素と呼びます)

• ∀ɑ ∈ V の場合、V には α + β = 0 となる要素 β が存在します。

  (βをαのマイナス要素といいます)

数量乗算ルール:

• 1a = a
• k(lα) = (kl)α

数量の乗算と加算のルール:

• (k + l)α = kα + lα
• k(α + β) = kα + kβ

ノート：

1. 上記の 8 つの規則を満たす加算および定量的乗算は、線形演算とも呼ばれます。

2. 線形空間の要素はベクトルとも呼ばれ、線形空間はベクトル空間とも呼ばれます。ただし、ここでのベクトルは必ずしも順序付けされた配列である必要はありません。

3. 定義された加算および乗算演算に対して集合が閉じていない場合、または演算が閉じていても 8 つのルールのいずれも満たさない場合、集合は線形空間を形成できません。

   たとえば、線形空間 R ²の場合、ベクトル [0, 0] ^Tが削除されると、加法乗算閉包を満たさないため、線形空間ではなくなります。そのため、線形空間にはゼロ ベクトルが含まれている必要があります。

4. ベクトルを 1 つだけ含む線形空間、ゼロ ベクトル {0} はヌル空間と呼ばれます。

5. P[x]指数フィールド P 上の単項多項式リング。数値フィールド P で定義された多項式を表します。

   P[x] _{n は、} n にゼロの多項式を加えた次数の数値フィールド P 上に定義された多項式によって形成される空間を表します。

6. Pは、m ^{×n 指数フィールド P 上のすべての m×n}行列で構成される線形空間であり、m×n 次元です。

線形空間の性質:

1. ゼロ要素は一意です。
2. ∀ɑ ∈ V 、その負の要素は一意であり、-α として示されます。
3. 0ɑ = 0、k0 = 0、(-1)ɑ = -ɑ、k(α - β) = kα - kβ
4. kα = 0 の場合、k=0 または α=0

3. 寸法、基準、座標

線形空間におけるベクトル間の線形関係: 線形代数では、V が数体 P 上の線形空間である場合、次のことがわかっています。

1. α ₁ ,α ₂ , · · ·,α~r ~∈ V(r ≥1), k ₁ ,k ₂ , · · ·,k _r ∈ P とすると、式 k ₁ α ₁ +k ₂ α ₂ + · · ·+k _r α _{r は}、ベクトル群 α ₁ ,α ₂ , · · ·,α _rの線形結合と呼ばれます。

2. α ₁ ,α ₂ ,...,α _{r ,β~ ~∈ V、k 1} ,k ₂ ,...,k _r ∈ Pが存在する場合、β = k ₁ α ₁ +k ₂ α ₂ +とします。 · · ·+k _r α _{rの場合、ベクトル β はベクトル群 α 1} ,α ₂ , · · ·.,α _rを通じて線形に表現できます。

   _{ベクトル群 β 1}、β ₂、…、β _sの各ベクトルがベクトル群 α ₁、α ₂、…、α _rで線形に表現できる場合、ベクトル群 β ₁、β ₂、・・・、β _{s は}、ベクトル群 α ₁、α ₂、・・・、α _{rを通じて線形に表現できます}。

   2 つのベクトル グループは、相互に線形に表現できる場合、同等であると言われます。

3. α ₁ ,α ₂ ,...,α _r ∈ V、すべてがゼロではない数 k ₁ ,k ₂ ,...,k _r ∈ Pが存在する場合、k ₁ α ₁ +k ₂ α ₂ +... ·+k _r α _r = 0 の場合、ベクトル グループ α ₁ ,α ₂ ,...,α _rは線形従属であると言われます。

   k ₁ α ₁ +k 2 α 2 +...+k r α r = 0 が k 1 ₌ k 2 = · · · ₌ k ₁ = ₀の場合にのみ成立する場合、_ベクトル集合_{α 1}、_α 2 _、 ...・・・、α _rは線形独立です。

結論：

1. ベクトル群 α ₁ ,α ₂ ,...,α _rの 1 つのベクトルは線形依存⇔ α ₁ ,α ₂ ,...,α _rは残りのベクトルで線形に表現できる。

2. ベクトル群 α ₁、α ₂、…、α _{r が線形独立であり、ベクトル群 β 1}、β ₂、…、β _sで線形に表現できる場合、r ≤ s になります。

   ベクトル群 α ₁ ,α ₂ ,...,α _rがベクトル群 β ₁ ,β ₂ ,...,β _sと等しい場合、r = s となります。

3. ベクトル グループ α ₁ ,α ₂ ,...,α _rが線形独立であるが、ベクトル グループ α ₁ ,α ₂ ,...,α _r ,β が線形従属である場合、β はベクトルによって取得できます。群α ₁、α ₂、…、α _rは線形で表現され、表現は一意である。

無限次元線形空間: 線形空間 V 内で任意の数の線形独立ベクトルが見つかる場合、 V は無限次元線形空間であると言われます。

有限次元線形空間:

1. n 次元線形空間: 線形空間 V 内に n 個の線形独立ベクトルが存在するが、任意の n+1 ベクトルが線形関係にある場合、V は n次元線形空間であると言われ、多くの場合 dimV=n (ゼロ) として記録されます。空間次元は 0 として定義されます)
2. 基底: n 次元の線形空間 V において、n 個の線形独立ベクトル ɛ ₁ , ɛ ₂ , · · ·,ɛ _{n はV の}基底の集合と呼ばれます。
3. 座標: α = a _{1 ɛ 1} +a ₂ ɛ 2 +....+a n ɛ _{nの場合、線形空間Vの基底の集合を ɛ 1} , ɛ ₂ , ···,ɛ n_とします。α ∈ V , a ₁ , a ₂ ,...,a _n ∈ P の場合、配列 a ₁ ,a ₂ ,...,a _{nは、底 ɛ 1} ,ɛ ₂ ,...,ɛの下の αの座標と呼ばれます。 _nは (a ₁ ,a ₂ ,...,a _n ) で表され、一意であり、α の座標は一般に基底ごとに異なります。

線形空間の基底と次元の決定:線形空間 V のベクトル群 α ₁、α ₂、...、α _nが次を満たす場合、

1. 独立性: α ₁ , α ₂ ,..., α~n ~線形独立。
2. 表現性: ∀β ∈ V、β は α ₁、α ₂、...、α _nを通じて線形に表現できます。その場合、V は n 次元線形空間、α ₁、α ₂、...、α _nは V ですベースのセット

標準基底: 一般に、ベクトル空間 P ⁿ = {(a ₁ ,a ₂ ,…,a _n )|a _i ∈ P, i = 1,2,…,n} は n 次元であり、ɛ ₁ =(1 ,0,…,0),ɛ ₂ =(0,1,…,0),…,ɛ _n =(0,0,…,1) はP ⁿの基底の集合です。はP ⁿの標準基底と呼ばれます。

ノート：

• n 次元線形空間 V の基底は一意ではなく、V 内の任意の n 個の線形独立ベクトルが V の基底のセットになります。
• 基底ベクトルの 2 つのセットは同等です

4. 基底変換と座標変換

ベクトル形式の表記:

1. V は数体 P 上の n 次元線形空間、α ₁ ,α ₂ ,...,α~n ~ は V 内のベクトルの集合、β ∈ V (β = x ₁ α ₁ +x ₂の場合) α ₂ + ···+x _n α _nとして記録されます。

2. V は数体 P 上の n 次元線形空間であり、α ₁、α ₂、...、α _nおよび k ₁、k ₂、...、k _nは V 内の 2 つのベクトルのセットです。

と表されます

基底変換: V を数体 P 上の n 次元線形空間とする, ɛ ₁ , ɛ ₂ , · · ·,ɛ _n , ɛ' ₁ ,ɛ' ₂ , · · ·,ɛ' _nは次の 2 つのグループです。 V の塩基、たとえば

このとき、式の右側の係数行列は、基底 ɛ ₁ , ɛ ₂ , · · ·,ɛ _nから基底 ɛ' ₁ ,ɛ' ₂ , · ·,ɛ' _nへの遷移行列と呼ばれます。上式を基底 ɛ ₁ ,ɛ ₂ , · · · ,ɛ _nから基底 ɛ' ₁ ,ɛ' ₂ , · ·,ɛ' _{n への}変換行列と呼びます。

自然:

1. 遷移行列はすべて可逆行列であり、逆に、任意の可逆行列は 2 つの基底グループ間の遷移行列とみなすことができます。
2. _{基底 ɛ 1} , ɛ ₂ ,···,ɛ _nから基底 ɛ' ₁ ,ɛ' ₂ ,···,ɛ' _nへの遷移行列がA の場合、基底 ɛ' ₁ ,ɛ' ₂ ,· · ·,ɛ' _nを基底 ɛ ₁ ,ɛ ₂にすると、ɛ _nの遷移行列はA ^{-1になります。}
3. _{基底 α 1} ,α ₂ ,...,α _nから基底 β ₁ ,β ₂ ,...,β _nへの遷移行列をA とすると、基底 β ₁ ,β ₂ ,...,β _nから基底γ ₁、γ ₂、…、γ _nの遷移行列が B の場合、基底α ₁、α ₂、…、α _nから基底γ ₁、γ ₂、…、への遷移γn行列_はABです

座標変換: V は数体 P 上の n 次元線形空間であり、ɛ ₁、ɛ ₂、...、ɛ _nおよび ɛ' ₁、ɛ' ₂、...、ɛ' _nは次の 2 つの基底グループです。 V、そして

ξ∈V と基底 ɛ ₁ , ɛ ₂ ,...,ɛ _nおよび ɛ' ₁ ,ɛ' ₂ ,...,ɛ' _nの下での ξ の座標がそれぞれ (x ₁ ,x ₂ ,... ,x _n ) および ( x' ₁ ,x' ₂ ,...,x' _n )、つまり

上の 2 つの式を基底変換におけるベクトル ξ の座標変換式といいます。

5. 線形部分空間

線形部分空間の定義: V を数体 P 上の線形空間とし、V の 2 つの演算 (加算と乗算) に対して W も数体 P 上の線形空間を構成する場合、W ⊆ V (W≠∅) と設定します。空間の場合、 W はV の線形部分空間、または短縮して部分空間と呼ばれます。

ノート：

• 線形部分空間の次元は空間全体の次元を超えることはできません

• ゼロ ベクトルのみを含む部分集合 W = {0} は、V の線形部分空間であり、 V のゼロ部分空間と呼ばれます。

解空間: n 値の同次一次方程式

のすべての解ベクトルの集合 W は、通常のベクトル加算と量的乗算によって形成される線形空間に対するn 次元ベクトル空間 P ⁿの部分空間であり、W を上式の解空間と呼びます。

ノート：

• 解空間の次元 W = n - ランク (A)
• 連立方程式の基本解系は、解空間 W の基底の集合です。

部分空間の生成: V は数フィールド P 上の線形空間であり、α ₁、α ₂、...、α _nは V 内のベクトルのグループであり、次に部分空間

α ₁ , α ₂ , · ·,α~n ~によって生成される V と呼ばれる部分空間は L(α ₁ ,α ₂ , · · ·,α _n ) と表され、α ₁ ,α ₂ , · ·と呼ばれます。 ,α _{n は}、 L(α ₁ ,α ₂ ,...,α _{n ) の}生成子のセットです。

定理:

• W が n 次元線形空間 V の任意の部分空間であると仮定します。α ₁ ,α ₂ ,...,α _nは W の基底の集合であり、W = L(α ₁ ,α ₂ ,...,α _n )

• α ₁ ,α ₂ ,...,α _rと β ₁ ,β ₂ ,...,β _{s は}線形空間 V 内の 2 つのベクトルのセットであり、L(α ₁ ,α ₂ ,...,α _r ) = L(β ₁ ,β ₂ ,・・・,β _s ) ⇔ α ₁ ,α ₂ ,・・・,α _rはβ ₁ ,β ₂ ,・・・,β _sに相当します。

• 生成部分空間の次元L(α ₁ ,α ₂ ,...,α _r )= ベクトル群のランクα ₁ ,α ₂ ,...,α _r

  推論: α ₁、α ₂、...、α _{s を}、すべてがゼロではない線形空間 V 内のベクトルのグループであるとします。α _i1、α _i2、...、α _ir (r≤s) は 1 です。その極の大きな無関係な群、L(α ₁ ,α ₂ ,...,α _s ) = L(α _i1 ,α _i2 ,...,α _ir )

• α ₁、α ₂、...、α _{n を}P 上の n次元線形空間 V_の基底の集合とし、A を P 上の n×s 行列とし_ます。 ,β _s ) = (α ₁ ,α ₂ ,...,α _n )A の場合、 L(β ₁ ,β ₂ ,...,β _s ) = Rank(A)の次元

• 基底拡張定理: W は n 次元線形空間 V の m 次元部分空間であり、α ₁、α ₂、...、α _mは W の基底のセットである場合、このベクトルのセットは次のように拡張されなければなりません。 V の基底の集合 ．_{つまり、α 1}、α ₂、...、α _mがV の基底群となるように、n-m 個のベクトル α m+ ₁、α m + ₂、...、α _nが V 内に存在する必要があります。

6. 部分空間の交差と和

部分空間の交差: V1 と V2 を線形空間 V の部分空間とすると、集合 V ₁ ∩ V ₂ = {a | a ∈ V ₁ and a ∈ V ₂ } も V1 と呼ばれる V の部分空間であり、次の交差空間。

複数の部分空間の交差は、

部分空間の和: V1 と V2 を線形空間 V の部分空間とすると、 V ₁ +V ₂ = {a ₁ +a ₂ | a ₁ ∈ V ₁ , a ₂ ∈ V ₂ } も V の部分空間であり、 と呼ばれます。 V1 と V2 の合計空間。

複数の部分空間の合計は次のように表されます。

ノート：

• 部分空間の交点と和は交換法則を満たす
• 部分空間の和集合は必ずしも V の部分空間であるとは限りません

部分空間の交差と和に関連するプロパティ:

1. V ₁、 V ₂、 W を線形空間 V の部分空間とします。

   W⊆V ₁、W⊆V ₂の場合、W⊆V ₁ ∩V ₂

   V ₁ ⊆W、V ₂ ⊆W の場合、V ₁ +V ₂ ⊆W

2. V ₁、V ₂が線形空間 V の部分空間であると仮定すると、次の 3 つの条件は等価です。

   V1⊆V2 _{_} _ _{_}

   V1∩V2 = _{V1 _} _ _{_}

   V ₁ + V ₂ = V ₂

3. α ₁ ,α ₂ ,...,α _rと β ₁ ,β ₂ ,...,β _{s は}線形空間 V 内の 2 つのベクトルのセットであり、L(α ₁ ,α ₂ ,...,α _r ) + L(β ₁ ,β ₂ ,・・・,β _s ) = L(α ₁ ,α ₂ ,・・・,α _r , β ₁ ,β ₂ ,・・・,β _s )

4. 次元の公式: V ₁と V _{2 を}線形空間 V の 2 つの部分空間とすると、dimV ₁ + dimV ₂ = dim(V ₁ +V ₂ ) + dim(V ₁ ∩V ₂ ) となります。部分空間の合計の次元は、多くの場合、部分空間の次元の合計よりも小さいことがわかります。

   推論: V ₁と V _{2 を}線形空間 V の 2 つの部分空間とすると、dimV ₁ + dimV ₂ > n の場合、V ₁と V ₂にはゼロ以外の共通ベクトルが含まれている必要があります。つまり、V ₁ ∩ _{V 2}でなければなりません。ゼロ以外のベクトルが含まれています。

応用: P ⁿでは、W ₁と W ₂を使用して2 つの同次一次方程式の解空間をそれぞれ表します。W ₁ ∩ _{W 2}は、これら 2 つの同次一次方程式の共通解の解空間です。

7. 部分空間の直接和

直接和の定義: 和 V ₁ +V ₂の各ベクトル α の分解式がα = α ₁ + α ₂ , α _{1である場合、V 1}、V ₂を線形空間 V の 2 つの部分空間とします。∈ _{V 1}、α ₂ ∈ V ₂は一意であり、V ₁ + V _2は直接和と呼ばれ、V ₁ ⊕V _{2と表されます。}

率直な判断：

1. 和 V ₁ +V ₂は唯一の直接和 ⇔ ゼロベクトル分解式です。つまり、α ₁ + α ₂ = 0、α ₁ ∈ V ₁、α ₂ ∈ V _{2の場合、α 1} = αが存在する必要があります。₂ = 0

2. と V ₁ +V _{2 は}直線であり、 ⇔ V ₁ ∩ V ₂ ={0}

3. V ₁ +V ₂は直線であり、⇔ dimV ₁ + dimV ₂ = dim(V ₁ +V ₂ )

4. U が線形空間 V の部分空間であると仮定すると、V = U ⊕ W となる部分空間 W が存在する必要があります。そのような W は U の共部分空間と呼ばれ、その共部分空間は一般に一意ではありません (U が自明な部分空間でない限り)。

5. ɛ ₁、ɛ ₂、···、ɛ _n、ɳ ₁、ɳ ₂、··、ɳ _{n が}それぞれ線形部分空間 V ₁、V ₂の基底群であると仮定します。

   また、V ₁ +V ₂は直線であり、⇔ ɛ ₁ ,ɛ ₂ ,···,ɛ _n ,ɳ ₁ ,ɳ ₂ ,···,ɳ _{n は}線形独立です。

複数の部分空間の直接和: V ₁ +V ₂ +...+V _sの各ベクトル α の分解式が次の場合、V ₁、V ₂、...、V _sをすべて線形空間 V の部分空間とします。 α = α ₁ + α ₂ + … + α _s , α _i ∈ V _{i , i=1,2,…,s は一意であり、その和は}直接和と呼ばれ、 V ₁ ⊕V ₂ ⊕…として記録されます。 ⊕Vs _{_}

複数の部分空間の直和の判定：上記の直和の判定と同じ、注意：

注: すべての n 次元線形空間は、n 個の 1 次元部分空間の直接和として表現できます。

8. 線形空間の同型性

同型写像の定義: 写像 σ: V→V' が次の特性を持つ場合、V, V' を数体 P 上の線形空間とします。

1. σ は全単射です
2. σ(α+β) = σ(α)+σ(β) ，∀α, β ∈ V
3. σ(kα) = kσ(α)，∀​​k ∈ P，∀α ∈ V

この場合、 σ はV から V' への同型写像であると言われ、線形空間 V はV' と同型であると言われ、 V≅V' と表されます。

同型関連の結論:

1. 数体 P 上の任意の n 次元線形空間はP ⁿと同型です。

2. V と V' が両方とも数体 P 上の線形空間であり、σ が V から V' への同型写像であると仮定すると、次のようになります。

   1. σ(0)=0，σ(-α)=-σ(α)
   2. σ(k ₁ α ₁ +k ₂ α ₂ +…+k _r α _r ) = k ₁ σ(α ₁ )+k ₂ σ(α ₂ )+…+k _r σ(α _r )，_ki ∈ P，α _i ∈ V，i=1,2,…,r
   3. ベクトル群 α ₁ ,α ₂ ,...,α _rが V において線形依存(線形独立)であるための必要十分条件は、それらの画像 σ(α ₁ ), σ(α ₂ ),…, σ (α _r ) は線形相関あり (線形独立)
   4. ディムV = ディムV'
   5. σ: V→V' の逆写像 σ ^-1は、V' から V への同型写像です。
   6. W が V の部分空間である場合、σ σ(W) = {σ(α) | α∈W} の下の W の画像セットは V' の部分空間であり、dimW = dimσ(W)
   7. 上記の 6 つの点から、同型写像はゼロ要素、負の要素、線形結合、線形依存関係を維持し、同型写像は部分空間を部分空間にマッピングすることがわかります。

3. 2 つの同型写像の積は依然として同型写像でしょうか?

   注: 同型関係には再帰性、対称性、推移性があります。

4. 数体 P 上の 2 つの有限次元線形空間 V と V' は同型 ⇔ dimV ₁ = dimV ₂