Resumen de puntos de conocimiento de matemáticas discretas-lógica de predicados

1. Conceptos básicos de lógica de predicados

Las cosas concretas o abstractas que pueden existir independientemente se denominan individuos y objetos. Usualmente usan letras minúsculas en inglés a, b, c ...
Por ejemplo: Xiao Zhang, Xiao Li, 8, a, Shenyang, el socialismo son todos objetos.
Ítems individuales: individuos específicos o específicos. Las letras minúsculas de uso común, como a, b, c, ... etc., indican
variables individuales: generalmente se refieren a un determinado individuo. Letras minúsculas de uso común como x, y, z, ...
Predicado: palabra que se usa para tallar atributos individuales o expresar la relación entre individuos, es decir, predicado. Los predicados se expresan en mayúsculas.


Los predicados también se dividen en constantes y variables. Los predicados que expresan propiedades y relaciones específicas se denominan constantes de predicado. Un predicado que generalmente se refiere a una determinada propiedad o relación se denomina variable de predicado.

El predicado sin variables individuales se denomina predicado de elemento cero. Por ejemplo, S (a), G (3,7), etc. Cuando el predicado es una constante, el predicado de elemento cero es la proposición; de lo contrario, cuando el predicado es una variable, el predicado de elemento cero es el argumento proposicional.
La función proposicional con n variables es una función n-aria con el dominio individual como dominio y {F, T} como dominio de valor.

Nota: La función de la proposición en sí misma no es una proposición . Se convierte en una proposición solo después de llenar suficientes objetos concretos entre paréntesis o restringir con suficientes cuantificadores .

El rango de valores de las variables individuales se denomina dominio individual, también llamado universo del discurso.
El dominio individual compuesto por todos los individuos se denomina dominio individual total. Es "el dominio individual más grande.
Convención: Para una función proposicional, si no se especifica su dominio individual, se supone que su dominio individual es el dominio individual total".

2. Cuantificador

En las proposiciones, las palabras que cuantifican a los individuos se denominan cuantificadores. Por ejemplo: algunas personas son estudiantes universitarios. Todo esta evolucionando. Algunos "todos" son palabras que cuantifican a los individuos.
Hay dos tipos de cuantificadores

: Variables instructivas de cuantificadores: debe haber una variable individual después del cuantificador, que indique qué variable individual se va a cuantificar, esta variable individual se denomina variable instructiva.
Cuando F es una constante de predicado, ∀xF (x) es una proposición.
Ejemplo: Todos los números naturales son números enteros.
Si no hay un dominio individual, es decir, el dominio individual es el dominio individual total, debe calificarse con un predicado característico.
Sea N (x): X es un número natural (predicado característico). l (x): x es un número entero. Esta proposición se puede escribir como ∀x (N (x) → l (x)).
Algunos estudiantes universitarios fuman. ∃x (S (x) ∧A (x))
predicado característico: En términos generales, el predicado característico es un predicado que describe características individuales, que a menudo es el sustantivo detrás del cuantificador en una proposición dada.
Por ejemplo: algunos estudiantes universitarios fuman, y algunos estudiantes universitarios detrás son predicados característicos.
Las reglas para agregar predicados característicos:
para los cuantificadores universales, los predicados característicos se utilizan a menudo para implicar antecedentes.
Para los cuantificadores existenciales, los predicados característicos se utilizan a menudo como términos conjuntivos.

Analice la relación entre el concepto expresado por el predicado característico y el predicado original: Para cuantificadores universales: por ejemplo, todos los números naturales son enteros.
Sea N: conjunto de números naturales, |: conjunto de enteros.

Para cuantificadores existenciales: por ejemplo, algunos estudiantes universitarios fuman. Sea S: una colección de estudiantes universitarios, A: una colección de fumadores.

Todo el mundo tiene una madre biológica:
Sea P (x): x una persona, M (x, y): y es la madre
biológica de x∀x (P (x) → ∃y (P (y) ∧M (x , y))))

Fórmula de predicado:

Fórmula de predicado atómico: llame al predicado n-ario P (x1, x2, ... xn) como una fórmula proposicional atómica.
Por ejemplo, P, Q (x), B (x, y, a) son todas
fórmulas de predicado atómico Definición de fórmula bien formada de predicado:
2. Fórmula bien formada de predicado
Definición (1) La fórmula de predicado atómico es una fórmula bien formada.
(2) Si A es una fórmula bien formada, entonces ¬A también es una fórmula bien formada.
(3) Si A y B son fórmulas bien formadas, entonces (A∧B), (A∨B), (A → B), (A <-> B) son todas fórmulas bien formadas.
(4) Si A es una fórmula bien formada y x es una variable individual en A, entonces ∀xA y ∃xA también son fórmulas bien formadas.
(5) Solo la cadena de símbolos obtenida aplicando (1) a (4) un número limitado de veces es una fórmula bien formada.
Las fórmulas bien formadas también se denominan fórmulas de predicado, o fórmulas para abreviar.
Las siguientes son todas fórmulas bien formadas:

Nota: Si hay paréntesis después del cuantificador, no se pueden omitir. Por ejemplo, en la fórmula 3 anterior, los corchetes del cuantificador no se pueden omitir.

Alcance de los cuantificadores

1. El alcance de los cuantificadores

El alcance del cuantificador (alcance): En la fórmula del predicado, el alcance del cuantificador se denomina alcance del cuantificador, también llamado alcance del cuantificador.

Generalmente:
si el cuantificador es solo una fórmula de predicado atómico, el alcance del cuantificador es esta fórmula de predicado atómico. Por ejemplo: ∀xA (x)
Si el cuantificador va seguido de paréntesis, el área indicada por el paréntesis es el alcance del cuantificador. Por ejemplo: ∃x (A (x) → B (x))
Si aparecen varios cuantificadores uno al lado del otro, el siguiente cuantificador y su alcance son el alcance del cuantificador anterior.
Por ejemplo: ∀x∃y∀z (A (x, y) → B (x, y, z)) ∧C (t)

Variables libres y restringidas

Las variables individuales en la fórmula del predicado se pueden dividir en dos tipos, una está restringida por el cuantificador y la otra no está restringida por el cuantificador.

Definición: Si la variable de objeto x está en la jurisdicción de ∀x o ∃x, entonces se dice que x está restringido a aparecer en esta jurisdicción, y se dice que x es una variable restringida en esta jurisdicción. De lo contrario, x es libre y x es un argumento libre.

Nota: (1) Un predicado n-ario P (x1 ... xn), si se agregan k cuantificadores al frente para hacer que las k variables individuales se conviertan en variables restringidas, el predicado n-ario se convierte en un predicado de nk elementos.
(2) Si una fórmula de predicado no tiene variables libres, representa una proposición.

y es tanto una variable libre como una variable restringida. Para evitar confusiones, es necesario cambiar el nombre del argumento de restricción.

Cambiar el nombre de las reglas

La regla de cambio de nombre de las variables restringidas: Sea A una fórmula de predicado, cambie todas las apariciones de una variable restringida en el alcance de un determinado cuantificador en A y la variable guía correspondiente a un cierto símbolo de variable que no aparece en A, El resto de A permanece sin cambios y la fórmula resultante es A ', luego A⇔A'.

También se puede cambiar el nombre de la variable libre, y este cambio de nombre se denomina sustitución.
Regla de sustitución para variables libres: Sea A una fórmula de predicado, reemplace todas las apariciones de una variable individual de ocurrencia libre en A con un símbolo de variable que no haya aparecido en A, y el resto de A permanece sin cambios, recuerde La fórmula resultante es A ', luego A⇔A'.

Simbolización de proposiciones en el cálculo de predicados

Tres tipos básicos

La expresión simbólica de la proposición está relacionada con el dominio individual. La designación de dominios individuales depende del tema. Por supuesto, se deben especificar aquellos que pueden especificar dominios individuales, lo que simplificará la expresión. Si no se especifica ningún dominio individual, es el dominio individual total .
En el cálculo de predicados, la simbolización de proposiciones más básica es de tres tipos:
1. Sujeto y objeto son objetos individuales específicos Use el predicado para agregar paréntesis, y los paréntesis indican el individuo específico .

2. Describir todos los objetos individuales arbitrarios, utilizando cuantificadores universales y predicados característicos como antecedentes implícitos.

Si se escribe como ∃x (M (x) ∧F (x)), significa que todos los individuos del universo son humanos y pueden respirar

3. Para describir algunos objetos, utilice cuantificadores existenciales y predicados característicos como elementos conjuntivos.

Si se escribe como ∀x (M (x) → F (x)), significa que hay un individuo en el universo. Si este individuo es humano, entonces escribe con la mano izquierda

Por ejemplo

No todos los números naturales son números pares
N (x): x son números naturales, E (x): x son números pares
¬ (∀x (N (x) → E (x)))
No todos se traducen directamente literalmente, como ¬
La oración ∀x también equivale a la existencia de algunos números naturales que ni siquiera son
∃x (N (x) ∧¬E (x))

No hay nadie que no cometa errores.
M (x): x es humano, F (x): x cometerá errores
¬∃x (M (x) ∧¬F (x))
Esta oración también es equivalente a: todas las personas cometerán un error
(∀x (M (x) → F (x)))

A todos los estudiantes universitarios les gustan algunos cantantes
S (x): x es un estudiante universitario, G (x): x es un cantante, L (x, y): x le gusta y
∀x (S (x) → ∃y (G ( y) ∧) L (x, y)))

Cada número natural tiene un número sucesor único

En algunas proposiciones, los cuantificadores de ciertos objetos individuales no se dan explícitamente, y estos cuantificadores implícitos deben analizarse y escribirse cuidadosamente .

El oro brilla, pero el oro no necesariamente brilla.
Sea G (x): x oro y F (x): x brille. La
proposición se expresa como:
∀x (G (x) → F (x)) ∧¬∀ x (F (x) → G (x))
o
∀x (G (x) → F (x)) ∧¬∃x (F (x) ∧¬G (x))

Todas las variables individuales en la expresión simbólica de una proposición deben ser variables restringidas para representar la proposición. Es decir, en la expresión simbólica de la proposición, no debe haber variable libre.

La equivalencia e implicación del cálculo de predicados

En lógica proposicional, una proposición tiene dos valores de verdad. Puede dibujar una tabla de verdad.
Asignar una fórmula de predicado (una explicación
para la fórmula de predicado) La asignación de una fórmula de predicado consta de las siguientes cuatro partes:
(1) Especificar un conjunto de no- dominios individuales vacíos;
(2) Reemplazar las variables proposicionales en la fórmula del predicado con ciertas proposiciones;
(3) Reemplazar las variables individuales en la fórmula con individuos específicos en el universo del discurso;
(4) Usar las constantes del predicado para las variables del predicado contenidas. en la fórmula Sustituir.

Ejemplo: Asigne un valor a la fórmula P → N (x).
Dominio individual: conjunto de números reales;
P: 2> 1;
N (x): x es un número natural; x = 4. Es una asignación del mismo: esta fórmula se convierte en T → N (4), y su valor verdadero es T

Una fórmula de predicado sin variables libres es una proposición. Una fórmula de predicado atómico con n variables libres puede considerarse un argumento proposicional. Por lo tanto, siempre que no esté involucrado el cálculo de cuantificadores, las fórmulas equivalentes y las fórmulas de implicación tautológica en el cálculo proposicional pueden extenderse para usarse en el cálculo de predicados.

Forma
de verdad permanente de la fórmula de predicado Dada la fórmula de predicado A, si alguna asignación hace que el valor de verdad de la fórmula de predicado A sea verdadero, entonces A se llama forma de verdad permanente.
Por ejemplo, la fórmula l (x) ∨¬l (x)
es la fórmula equivalente de la fórmula del predicado: dadas las fórmulas del predicado A y B, si A <-> B es una forma permanente, entonces A y B se llaman equivalentes , denotado como A ⇔B. es
equivalente a decir que si los valores verdaderos de A y B son iguales independientemente de la misma asignación a A y B, entonces A y B son equivalentes. Por ejemplo, N (x) → l (x) ⇔N (x) ∨l (x).

Dadas las fórmulas de predicado A y B, si A → B es la forma de verdad eterna, entonces A verdad eterna implica B, denotado como A => B.

La fórmula de eliminación del cuantificador en el dominio individual limitado

La fórmula equivalente para eliminar cuantificadores en el dominio individual finito, establece el dominio de la teoría como {a1, a2 ... an}, luego

1. ∀xA (x) ⇔A (a1) ∧A (a2) ∧A (a3)… ∧A (an)
2. ∃xA (x) ⇔B (a1) ∨B (a2) ∨B (a3) ​​... ∨B (an)
   La diferencia entre la lógica de predicados y la lógica proposicional radica en la expresión de proposiciones. La mayor diferencia entre la fórmula del predicado y la fórmula de la proposición es que hay más cuantificadores.
   
   

Tasa de conversión del cuantificador

La diferencia entre la lógica de predicados y la lógica proposicional radica en la expresión de proposiciones. La mayor diferencia entre una fórmula de predicado y una fórmula proposicional es que hay más cuantificadores, y todas las expresiones proposicionales se pueden expresar como expresiones que contienen solo el conectivo ∧∨¬, siempre que la relación entre el cuantificador y ∧∨¬ sea claramente estudiado, la expresión predicada El cálculo de la fórmula también es claro.
1. Fórmula de equivalencia de negación del cuantificador (relación entre cuantificador y ¬)

explicación intuitiva:
"No todo x tiene propiedad A '" y "la existencia x no tiene propiedad A" tiene el mismo significado.
No hay X con propiedad A y "todo x no tiene propiedad A", lo que significa lo mismo.

Ejemplo: Sea A (x) significa: x es un genio, dominio individual: {nuestra clase}
¬∀xA (x) significa: no todos los estudiantes de nuestra clase son genios.
∃x¬A (x) significa: Algunos estudiantes de nuestra clase no son genios.
¬∃xA (x) significa: ningún compañero de nuestra clase es un genio.
∀x¬A (x) significa: todos los estudiantes de nuestra clase no son genios.
Se puede ver que esto está en consonancia con nuestros hábitos de pensamiento.

Expansión y contracción del alcance de los cuantificadores

La expansión y contracción del alcance de los cuantificadores estudia la relación entre los cuantificadores y ∧∨. Uno de los operandos no está restringido por el cuantificador. Existen las siguientes fórmulas:


Otras fórmulas:

Expansión y contracción del alcance del cuantificador, cuando solo un operando está restringido por el cuantificador, si el conectivo medio es una conjunción disyuntiva, agregar o no agregar paréntesis no tiene ningún efecto. Si se implica el conectivo intermedio, el cuantificador no dirá el impacto de antemano, pero preste atención a la situación anterior, aquí se divide, es necesario agregar una negación, ∀xA (x) → B, equivalente a ¬∀xA (x) ∨ B. Por ejemplo: si todos están aquí, tendremos una reunión, lo que equivale a que no todos lleguen, o una reunión (lo que indica que todos están aquí). O podemos mover el no a la derecha del símbolo del cuantificador, el cuantificador se convierte en dos veces, o no viene alguien, o una reunión.

Fórmula de asignación de cuantificador

Si dos operandos están restringidos por el mismo cuantificador, ¿cuál es la relación entre el cuantificador y la operación "v, ^"? Existe la siguiente
fórmula de distribución de cuantificadores : la



fórmula 1 se puede usar para demostrar la fórmula 2 para
ilustrar la fórmula 3:




x arbitrario conjunción (eliminación de dominio individual asociado), la existencia de x disyunciones son todas distribuciones equivalentes, pero cualquier x disyunción y la existencia de x conjuntivas tienen sólo relaciones de implicación.

Paradigma del dedo del pie

Dedo del pie antes del paradigma, todos los cuantificadores están delante de la fórmula.
La definición de paradigma de puntera:
si una fórmula de predicado cumple las siguientes condiciones, es un paradigma de puntera: no
todos los cuantificadores están precedidos por palabras conjuntivas; todos los cuantificadores no están precedidos por palabras conjuntivas; el alcance de todos los cuantificadores se extiende a el final de la fórmula.

Los pasos para encontrar el paradigma de pre-haz:
1) Eliminar las conjunciones y ->, <-> en la fórmula (para facilitar el alcance y la expansión del
cuantificador ) 2) Si hay ¬ antes del cuantificador, la conversión La velocidad del cuantificador se desplazará hacia atrás.
3) Utilice las reglas de cambio de nombre de variables restringidas o las reglas de sustitución de variables libres para cambiar el nombre de las variables (preparación para la expansión del alcance de los cuantificadores).
4) La fórmula de expansión del alcance del cuantificador extrae el cuantificador y lo convierte en la forma del paradigma prefijado.