矩阵乘以矩阵定义

矩阵乘以矩阵

乘法定义

进一步分析基变换关系， $n$ 维空间中任意向量 $\mathbf{x}=a_1\mathbf{v_1}+\cdots+a_n\mathbf{v_n}$ ，用矩阵乘以向量表示为 $\mathbf{x} = V\mathbf{\mathbf{a}}$ ，矩阵 $V$ 由 $n$ 维空间中基构成， 称为基矩阵， $n$ 维向量 $\mathbf{a}$ 是表示向量。变换为 $m$ 维空间的向量 $\mathbf{y} = a_1\mathbf{w_1}+\cdots+a_n\mathbf{w_n}$ ，用矩阵乘以向量表示为 $\mathbf{y} = W\mathbf{a}$ ，矩阵 $W$ 由基变换向量组构成，称为基象矩阵。
$\mathbf{x} = V\mathbf{a} \\ \mathbf{y} = A\mathbf{x} \\ \mathbf{y} = W\mathbf{a} \\ \\ A(V\mathbf{a}) = W\mathbf{a}$
对任意 $n$ 维向量 $\mathbf{a}$ 均成立。

如何理解最后一个等式？ $A(V\mathbf{a})$ 是变换矩阵 $V$ 先把向量 $\mathbf{a}$ 变换为向量 $\mathbf{x}$ ，然后变换矩阵 $A$ 把向量 $\mathbf{x}$ 变换为向量 $\mathbf{y}$ ； $W\mathbf{a}$ 是变换矩阵 $W$ 把向量 $\mathbf{a}$ 变换为向量 $\mathbf{y}$ ，等式对任意向量 $\mathbf{a}$ 均成立！这表明矩阵 $A, V$ 两次变换的总效果和矩阵 $W$ 一次变换效果一样。从变换角度看，矩阵 $W$ 与矩阵 $A, V$ 等价。形式上 $A(V\mathbf{a})$ 类似代数乘法，故定义为矩阵乘法。根据基变换关系，积矩阵 $W$ 的每个向量为 $(\mathbf{w_1}=A\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{w_n}=A\mathbf{v_n})$ 。

定义 矩阵乘法 任意矩阵 $A$ 乘以基矩阵 $V$ ， $AV=\left[ A\mathbf{v_1},\cdots,A\mathbf{v_n} \right]=W$ ，其中向量 $\mathbf{v_i}$ 为基矩阵 $V$ 的第 $i$ 个向量。

几何意义是，积矩阵 $W$ 、矩阵 $AV$ 对任意向量的变换相等。

重要性质 $A(V\mathbf{a}) = W\mathbf{a} = (AV)\mathbf{a}$ 。

两个矩阵相乘，必须满足形状要求，因为矩阵乘以向量，要求向量维度等于矩阵的列数，所以矩阵 $A_{mn}$ 与矩阵 $V_{nn}$ 相乘，矩阵 $A$ 的列数（ $n$）必须等于矩阵 $V$ 的行数（ $n$），积矩阵的尺寸为 $W_{mn}$ 。

矩阵乘法，还可以从矩阵乘以向量角度观察， $AV=A\left[ \mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n} \right]=\left[ A\mathbf{v_1},\cdots,A\mathbf{v_n} \right]$ ，即矩阵 $A$ 乘以基矩阵 $V$ 每个向量，这种看法有助于记忆矩阵乘法，和化简矩阵乘法有关的表达式。

重要性质 $AV=A\left[ \mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n}\right]=\left[A\mathbf{v_1},\cdots,A\mathbf{v_n} \right]$ .

上面定义矩阵乘法，要求矩阵 $V$ 为基矩阵，如果是任意向量组构成的矩阵，怎么定义矩阵乘法呢？有两种方法，结果相同。

第一种方法方便记忆，就是对基矩阵乘法的推广，利用 $AV=A\left[ \mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n}\right]=\left[ A\mathbf{v_1},\cdots,A\mathbf{v_n}\right]$ ，把向量 $\mathbf{v_i}$ 看成任意向量，数量也任意。

第二种方法，和基矩阵看法一样，即把矩阵 $B$ 的向量组看成空间的生成向量。令变换矩阵 $A_{mn}$ 把 $n$ 维空间中向量组 $B_{np} = (\mathbf{b_1},\cdots,\mathbf{b_p})$ ，变换为 $m$ 维空间中 $p$ 个向量 $(\mathbf{w_1}=A\mathbf{b_1},\cdots,\mathbf{w_p}=A\mathbf{b_p})$ ，则向量组 $B_{np}$ 张开的子空间中任意向量 $a_1\mathbf{b_1}+\cdots+a_p\mathbf{b_p}$ ，矩阵 $A_{mn}$ 把其变换为 $m$ 维空间的向量
$A(B\mathbf{a})= A(a_1\mathbf{b_1}+\cdots+a_p\mathbf{b_p}) = a_1A\mathbf{b_1}+\cdots+a_pA\mathbf{b_p} \\ = a_1\mathbf{w_1}+\cdots+a_p\mathbf{w_p} \\ = W\mathbf{a} \\ 得 \quad W = AB = \left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_p}\right]$

定义 矩阵乘法 任意矩阵 $A$ 乘以任意矩阵 $B$ ， $AB=\left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_p}\right]$ ，其中向量 $\mathbf{b_i}$ 为矩阵 $B$ 的第 $i$ 个向量。

即矩阵 $A$ 乘以矩阵 $B$ 每个向量。

重要性质 任意两个矩阵相乘，必须满足形状要求，因为矩阵乘以向量，要求向量维度等于矩阵的列数，所以矩阵 $A_{mn}$ 与矩阵 $B_{np}$ 相乘，矩阵 $A$ 的列数（ $n$）必须等于矩阵 $B$ 的行数（ $n$），积矩阵的尺寸为 $W_{mp}$ 。

定义 方阵 矩阵的行数等于列数时，矩阵称为方阵。

定义 $n$ 阶方阵 行数为 $n$ 的方阵。

重要性质 矩阵自身相乘时，根据形状要求，矩阵 $A$ 必须为方阵，即 $A_{nn}A_{nn}=B_{nn}$ 。

例如：
$A= \left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] \quad B =\left[ \begin{matrix} 4 & 6 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right] \\ A\mathbf{b_1}= \left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0*4 + 2*5 \\ 1*4 + 3*5 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 10 \\ 19 \end{matrix} \right] \\ A\mathbf{b_2}= \left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 6 \\ 7 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0*6 + 2*7 \\ 1*6 + 3*7 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 14 \\ 27 \end{matrix} \right] \\ AB=\left[ A\mathbf{b_1},A\mathbf{b_2}\right]= \left[ \begin{matrix} 10 & 14 \\ 19 & 27 \end{matrix} \right]$
可见，矩阵乘法运算量很大，小型（ $m,n<4$）矩阵还勉强可以手算。矩阵运算基本都靠计算机，读者工作中千万不要手算，慢且极容易出错。