解惑——为什么导向矢量和噪声子空间正交

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相信所有研究DOA方向的同学一定看过一个理论，就是子空间算法中导向矢量张成的子空间与噪声子空间正交。由此，若干个子空间类算法也因此得到了各种求得DOA估计值的方法，那么你是不是跟我一样，迷惑为什么导向矢量和噪声子空间就正交了呢？

为了更好地帮助理解，我这篇博客也必须使用一系列的公式推导，首先简单说一下各个符号代表的含义。

设有 $P$个阵元（天线）， $M$个信号， $N$快拍，信号来波方向为{ $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_M$};

信号表示成 $\mathbf{Y}=\mathbf{AX}+\mathbf{N}$
那么信号的协方差矩阵即为
1. $\mathbf{R}=E[y(n)y(n)^{H}]=\mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H+\sigma^2\mathbf{I}$，其中 $()^H$表示共轭转置。
2.因为 $\mathbf{A}$是列满秩的（因为假设所有信号来自于不同的方向），且信号的自相关矩阵即 $\mathbf{R}_x$肯定是非奇异的Hermitian矩阵，那么 $\mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H$肯定是一个PXP的非负正定Hermitian矩阵，且秩为M。
3.由此 $\mathbf{R}$一定可以被酉矩阵对角化。
4.假设这个酉矩阵叫 $\mathbf{B}$,即 $\mathbf{B}\mathbf{B}^H=\mathbf{I}$,毫无疑问， $\mathbf{B}$一定是一个PXP的酉矩阵，且 $\mathbf{B}=[\mathbf{B}_S,\mathbf{B}_N]$。
5.则
$\mathbf{B}^H\mathbf{R}\mathbf{B} =\mathbf{B}^H(\mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H+\sigma^2\mathbf{I})\mathbf{B}\\ =Diag[(\mu_1+\sigma^2),\cdots,(\mu_M+\sigma^2),\sigma^2, \cdots,\sigma^2]$
显示，前M项是被噪声污染的信号的能量，后(P-M)项是噪声能量。
6.现在记
$\mathbf{\Lambda}_1=Diag[\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_M], \\ \lambda_i=\mu_i+\sigma^2,for\ i=1,2,\cdots,M \\ \mathbf{\Lambda}_2=Diag[\lambda_{M+1},\lambda_{M+2},\cdots,\lambda_P],\\ \lambda_{M+i}=\sigma^2,for\ i=1,2,\cdots,P-M$
7.现在5可以重写为
$\mathbf{B}^H\mathbf{R}\mathbf{B}=[\mathbf{B}_S,\mathbf{B}_N]^H(\mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H)[\mathbf{B}_S,\mathbf{B}_N]+\sigma^2\mathbf{I}=Diag[\mathbf{\Lambda}_1\ \mathbf{\Lambda}_2]$
8.把7展开就可以得到
$\mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H\mathbf{B}_S=\mathbf{B}_S\mathbf{\Lambda}_1-\mathbf{B}_S(\sigma^2\mathbf{I})\\ =\mathbf{B}_SDiag[\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_M]\\ \mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H\mathbf{B}_N=\mathbf{B}_N\mathbf{\Lambda}_2-\mathbf{B}_N(\sigma^2\mathbf{I})=0\\（\mathbf{\Lambda}_2=Diag[\sigma^2,\cdots,\sigma^2])$
9.因为 $\mathbf{A}$非奇异， $\mathbf{R}_x$非奇异，所以 $\mathbf{A}\mathbf{R}_x\mathbf{A}^H\mathbf{B}_N=0$
只能是 $\mathbf{A}^H\mathbf{B}_N=0$
即导向矢量与噪声子空间正交，证毕。