多于空间维度的向量组

多于空间维度的向量组

二维平面中任意向量被二个以上向量表示时肯定不唯一，三维平面中任意向量被三个以上向量表示时肯定不唯一。这说明在二维空间中二个以上向量肯定是相关的，三维空间中三个以上向量肯定是相关的，那 $m$ 维空间中多少个向量肯定相关呢？肯定是 $m$ 个以上！

重要性质 $m$ 维空间中任意 $n$ 个向量（ $n>m$），如果极大无关组是基，则任意向量被 $n$ 个向量表示时有无穷多种。

证：假设前 $m$ 个向量为 $V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_m})$ ，是极大无关组，构成基，后 $n-m$ 个向量为 $U = (\mathbf{u_1},\cdots,\mathbf{u_{n-m}})$ 。 $m$ 维空间中任意向量 $\mathbf{y}$ ，则
$\mathbf{y} = (\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_m\mathbf{v_m}) + (\beta_1\mathbf{u_1}+\cdots+\beta_{n-m}\mathbf{u_{n-m}})$
表示系数组 $(\beta_1,\cdots,\beta_{n-m})$ 取任意值时，均存在唯一表示系数组 $(\alpha_1,\cdots,\alpha_{m})$ 满足上式，故存在无穷多种表示系数组 $(\alpha_1,\cdots,\alpha_{m},\beta_1,\cdots,\beta_{n-m})$ 表示任意向量 $\mathbf{y}$ 。

重要性质： $m$ 维空间中任意 $n$ 个向量（ $n>m$），如果极大无关组不是基，则空间存在向量不能被其表示。

重要性质： $m$ 维空间中任意 $n$ 个向量（ $n>m$），必线性相关。

因为 $m$ 维空间只有 $m$ 个维度，所以必有向量不能张开单独的一维，是相关组。