向量到底是什么呢？把他理解为空间中的箭头?实数对?还是某种更深层的意义?
熟悉基变换的人 感觉 坐标描述太随意，因为依赖于基向量，基向量不同，位置就不同。
行列式给出一个变换对一个面积的影响；而特征向量是在变换过程中还在以前该向量的张成空间(一个向量的张成空间是一条线)。
刚开始无论在什么坐标系下，变换后，行列式的值和特征向量都不会改变。所以这俩量不依赖于特定的坐标系。
向量本质并不是只有一组实数组成(就是只用一组实数描述不了向量)，只用实数描述缺乏空间性(还得靠基向量)，那空间到底是什么呢？
什么是空间呢？
1.类似向量的东西---函数
还有其他类似向量的东西，比如函数。。
函数相加图示
函数相加 等价于 有无数个坐标要加，相当于多对向量相加
函数相乘 等价于 无数个坐标数乘，等价于多对向量数乘
向量操作只有相加和数乘两种。
函数现在也有那俩特性，所以一些用向量解决问题的手段可以迁移到函数中来。
比如函数的导数变换
这是一个导数，我们会感到疑惑，导数为啥是线性的？就是哪些变换是线性的？
2.回顾
向量满足以下性质称为线性：
这两条性质有个最重要的推论，那就是矩阵向量乘法
线性变换就是求在新的基向量下的位置
3.转回讨论函数
导数具有可加性和成比例性，所以是线性的
可加性
成比例性
现在我们给矩阵求导，有以下多项式，每个包含不同幂次
引入基函数
多项式转成矩阵形式
更通用的表示形式
d/dx的定义如下，为啥是1,2,3是推出来的
然后来个具体的多项式就是这样求导的
向量的矩阵向量乘法 就是 函数的求导，一个东西，名字不同
其他别名
综上，函数也是一种向量。
4.开拓思维一下向量到底是什么
有很多类似向量的东西
不管是箭头，还是实数对，还是函数，只要满足可加和成比例，向量的概念都能拓展到类似向量的东西
比如下面这些概念
5.数学家的抽象思维
假设你现在是一个数学家，你提出一些概念，想对类似向量的东西都有普适性。
类似向量的所有事物被称为向量空间，比如箭头，数组或函数。
为了不让其他人提出一些乱七八糟的向量空间，你给出一些规范，这些规范就是公理
你的公理让那些想给你看他们向量空间的人 在给你看之前先自己验证一下满不满足规范，不至于瞎提。公理验证通过后，他们还能用你的一些结论。
他们的验证避免了你为他们验证对不对。
为了方便别人验证，你把要求抽象表述出来(通过公理的定义)，对向量空间具有普适性。而不是特定于箭头或函数
所以教科书用公式表述线性变换(抽象性)
图像也能描述，但太专了(针对箭头)，人们难以判断他们的向量空间满不满足
6. 数学的抽象性
向量的形式不重要，重要的是那些规则(就是公理)
就像3代表任意三个东西，哪三个东西不重要，3这个任意三个东西的抽象概念才重要。
但是思考还是具象最好。
为了便于迁移概念，抽象最好。
