在开始之前，我们需要明确方程组可以转化成一组列向量的线性组合。什么意思呢？我们以下面一个例子进行介绍：
\[ x_1+2x_2+x_3 = 1 \\ 2x_1+3x_2+3x_3 = 3 \\ x_1+3x_2+x_3=3 \]
可转化成如下形式：
\[ \left(\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {1} \\ {2} & {3} & {3} \\ {1} & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {3} \\ {3}\end{array}\right) \]
所以实际上上面方程组的本质就是对\([1,2,1]^T,[2,3,3]^T,[1,3,1]^T\)三个列向量进行线性组合得到\([1,3,3]^T\)，至于如何组合就是X的解。
上面的方程组可以进一步用\(AX=b\)的形式表示，我们结合上面的方程组从如下两种情况来讨论方程组有无解的问题。
\(b=0\)
这种情况就是对三个列向量进行线性组合，最后得到原点。
如果\(r(A)=n\),即满秩(如图1)，那么\(A\)中所有列向量线性独立，换句话说就是其中一个列向量无法由其余的列向量线性表示，即不存在\(k_2,k_3\)满足\(-a_1=k_2a_2+k_3a_3\),所以此时只有\(X=0\)才有解，但是这并不是我们关心的解。
如果\(r(A)<n\)时(即图2),那么表示\(A\)中的列向量不是相互独立的，也就是说其中某一个列向量一定能由其他的列向量线性表示(\(-a1=k_2a_2+k_3a_3\))，因此该情况有解。
\(b≠0\)
这种情况就是对三个列向量进行线性组合，最后得到一个向量\(b\)。
- 第一种情况：\(r(A)=n\),如图3所示，\(A\)中三个列向量线性独立，也就是说三个列向量是三个独立的基向量，所以任意的向量都能由这三个向量线性表示，而此时只有唯一解。
- 第二种情况：\(r(A)=r([A|b])<n\),如图4所示，此时有无限解。
- 第三种情况：\(r(A)<r([A|b])\),如图5，也就是说向量\(b\)属于一个新的维度。例如图5中\(A\)的三个列向量只构造出了一个二维空间，而\(b\)并不在这个二维空间里，因此无论如何也无法用三个列向量线性表示出\(b\)，因此这种情况无解。
总结
- \(Ax=b\)
- 若\(r(A)=r([A|b])\):
- \(r(A)=r(B)=n\),有唯一解
- \(r(A)=r(B)<n\),有无限多解
- 若\(r(A)≠r(B)\)无解
- 若\(r(A)=r([A|b])\):
- \(Ax=0\)
- 若\(r(A)=n\)只有零解
- 若\(r(A)<n\)有无限解