引言
紧接前文学习完向量组秩的基本概念后，继续往后学习向量的内容。
三、向量组等价、向量组的极大线性无关组与秩
3.2 向量组秩的性质
性质 1（三秩相等） —— 设 A = ( β 1 , β 2 , … , β n ) = ( α 1 , α 2 , … , α n ) T \pmb{A=(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)^T} A=(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)T ，其中 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 与 β 1 , β 2 , … , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} β1,β2,…,βn 分别为矩阵 A A A 的行向量组和列向量组，则矩阵 A A A 的秩、 A A A 的行向量组的秩、 A A A 的列向量组的秩相等。
性质 2 —— 设 A : α 1 , α 2 , … , α n A:\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} A:α1,α2,…,αn 与 B : β 1 , β 2 , … , β n B:\pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} B:β1,β2,…,βn 为两个维数相同的向量组，若向量组 A A A 可由向量组 B B B 线性表示，则向量组 A A A 的秩不超过向量组 B B B 的秩。
性质 3 —— 等价的向量组秩相等，反之不对。
1，设向量组 A : α 1 , α 2 , … , α n A:\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} A:α1,α2,…,αn 与 B : β 1 , β 2 , … , β n B:\pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} B:β1,β2,…,βn 的秩相等，且向量组 A A A 可由向量组 B B B 线性表示，则向量组 A A A 与向量组 B B B 等价。
2，设向量组 A : α 1 , α 2 , … , α n A:\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} A:α1,α2,…,αn 可由 B : β 1 , β 2 , … , β n B:\pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} B:β1,β2,…,βn 线性表示，但向量组 A A A 不可由向量组 B B B 线性表示，则向量组 A A A 的秩小于向量组 B B B 。
3，两个等价的向量组，各自构成的矩阵也等价，但反之不一定。
四、 n n n 维向量空间
4.1 基本概念
n n n 维向量空间 —— 所有 n n n 维向量连同向量的加法及数与向量的乘法运算称为 n n n 维向量空间，记为 R n . \pmb{R}^n. Rn.
基 —— 设 R n \pmb{R}^n Rn 为 n n n 维向量空间，设 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 为向量空间中的 n n n 个向量，若满足：
（1） α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性无关；
（2）对任意的 β ∈ R n , β \pmb{\beta \in R^n,\beta} β∈Rn,β 都可由向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 线性表示，
称 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 为 n n n 维向量空间 R n R^n Rn 的基。
特别地，若 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 两两正交，且都是单位向量，称其为正交规范基。
向量在基下的坐标 —— 设 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 为 R n R^n Rn 的基， β ∈ R n \beta \in R^n β∈Rn ，若 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n β=k1α1+k2α2+⋯+knαn ，称 ( k 1 , k 2 , … , k n ) (k_1,k_2,\dots,k_n) (k1,k2,…,kn) 为向量 β \beta β 在基 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 下的坐标。
过渡矩阵 —— 由一组基变换为另一组基，可乘上一个矩阵，该矩阵称为过渡矩阵。
需要一些直观印象，才能更好理解向量空间。首先应理解的是，一个矩阵就代表一种变换。
4.2 基本性质
定理 1 设 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 为 n n n 维向量空间 R n R^n Rn 的基， β ∈ R n \beta \in R^n β∈Rn ，令 A = ( α 1 , α 2 , … , α n ) A=(\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}) A=(α1,α2,…,αn) ，则向量 β \beta β 在基 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 下的坐标为 X = A − 1 β . \pmb{X=A^{-1}\beta}. X=A−1β.
定理 2 —— 设 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 与 β 1 , β 2 , … , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} β1,β2,…,βn 为向量空间 R n R^n Rn 的两个基，令 A = ( α 1 , α 2 , … , α n ) , B = ( β 1 , β 2 , … , β n ) A=(\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}),B=(\pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n}) A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn) ，则从基 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 到基 β 1 , β 2 , … , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} β1,β2,…,βn 的过渡矩阵为 Q = A − 1 B . \pmb{Q=A^{-1}B}. Q=A−1B.
定理 3 —— 从基 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 到基 β 1 , β 2 , … , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} β1,β2,…,βn 的过渡矩阵与从基 β 1 , β 2 , … , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n} β1,β2,…,βn 到基 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αn 到的过渡矩阵互为逆矩阵。
写在最后
到此，向量的理论部分就结束了。矩阵、向量、方程组三者的联系最近会总结发出来的。