Finite-Dimensional Vector Spaces
2.A Span and Linear Independence
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span的定义
空列表()的span定义为 -
一个列表向量的span是包含这个些列表向量的子空间中最小的一个
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首先很容易证明 是一个子空间.
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由上一步子空间的证明可以得出,任何包含
的子空间,都 包含 -
每个 包含在 里面
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spans定义
如果 ,
那么就说 spans -
polynomial ,多项式定义
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所有 -
是系数为 的所有多项式
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定义为
也就是最高次数超过 的所有多项式集合
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线性相关引理
如果
线性相关.那么就一定存在 满足:-
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如果 从
移出,剩余的向量列表仍然等于 .
Proof
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从 中找到序号最大的一个 使得
,也就是说 序号后面的 都等于0。那么我们可容易得到
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对于任一 ,可以将上面的
替换为
。也就是说
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向量空间 中所有非线性相关的向量组长度,小于所有可以spans向量空间 的向
量组的长度-
重新重复下这个问题。如果
是空间 中的非线性相关的 向量组, 而
spans .问题是证明 -
每一次迭代按顺序吧 加入到 的头部.
比如第一次 这个向量组spans -
从前面6点可以知道,可以从
移出一个向量并且保持剩下的向量组 spans . -
迭代这个步骤 次,且每一次删除一个
。需要指出的是,根据6点,每次一
定是删除 ,因为
是非线性相关,所以不会删除 . -
最后我们得出
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有限空间的子空间,也是一个有限空间
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假如 是有限空间 的一个子空间。
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如果 那么 是一个有限子空间。
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如果 , 那么存在 . 我们把
加入到列 表里面 . -
如果 ,那么 就是有限子空间.
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如果 , 那么一定可以找到 且 . 把 加入到 .
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最终会行成一个非线性相关的向量组 spans
。而 是有限空间。那么存在非线性相
关的向量组spans , 也是 中的非线性相关的向量组。根据上面7点,可以得出
的长度有限
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2.B Bases
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如果 是 的一组基的充要条件是每一个
有唯一 的表示形式-
证明第一个方向。如果 是 的基, 假设
有两种表示形式
.
与原假设矛盾,也就是说 只有一种表示形式 -
证明第二个方向。如果
只有一个中表示形式。 那么自然
.因为如果 ,
将会有另外一个表示形式( 就额可以表示出另外的0形式)与假设矛盾。
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如果列表 spans 那么,可以把
可以减少一部分向量,而组成一个 的基。 space.-
如果 spans
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如果 , 移除
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如果 , 移除
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经过 步,就可以产生 的一个基
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空间 中的任一一组非线性相关的向量组均可以扩展为 的一组基
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重复这个说明: 如果 是
上的非线性相关向量组, 那 么可以把它扩展为 的一组基。 -
令 是 的一组基,那么
一定 spans -
应用2的方法可以得到
的一组基,而且这组基包含
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如果 是 的子空间.那么一定存在 是 的子空间,使得
.-
让 是 的一组基, 使用3可以扩展出
来做 ,其中令
。问题变为如何证明 -
从上面的定义中,可以得出
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很容易证明 .因为,如果
,与我们的
假设 非线性相关矛盾。进而得出
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2.C Dimension
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有限空间中的任意两组基的向量个数相等
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令 和 是 的两组基
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由此可得 spans , spans
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由前面的结论,非线性相关的向量组个数
spans空间的向量组列表长 度。也就是说
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是 的子空间, 那么
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长度为 的非线性相关的向量组, 是 的一组基
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任何的一组非线性相关的向量组都可以扩展为 的一组基。
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的每一组基都有相同的个数 。
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任何一组向量 spans 且个数为 , 那这组向量就是 的基。
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任何一组可以 spans 的向量组可以减少为 的一组基.
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而且,任何 的一组基含有相同的长度。
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令 是 的一组基
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把 扩展为
是 的一组基。 -
把 扩展为
是 的一组基。 -
然后
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然后,问题变成。我们证明
是非线性相关而且spans 也就是说 -
分析 向量
也就是说 -
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有定义可知
是非线性相关的。那么 我们可以得出
都是0,那么
是非线性相关的向量组.
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