AcWing 2. 01背包问题（模板）

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01背包问题描述：

有 $N$ 件物品和一个容量为 $V$ 的背包。放入第 $i$ 件物品耗费的费用是 $C_i$，得到的价值是 $W_i$。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即 $F[i, v]$ 表示前 $i$ 件物品恰放入一个容量为 $v$ 的背包可以获得的最大价值。

则其状态转移方程便是： $F[i, v] = max\left\{F[i − 1, v], F[i − 1, v − C_i] + W_i\right\}$

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。

所以有必要将它详细解释一下：“将前 $i$ 件物品放入容量为 $v$ 的背包中”这个子问题，若只考虑第 $i$ 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只和前 $i − 1$ 件物品相关的问题。

1. 如果不放第 $i$ 件物品，那么问题就转化为“前 $i − 1$ 件物品放入容量为 $v$ 的背包中”，价值为 $F[i − 1, v]$；
2. 如果放第 $i$ 件物品，那么问题就转化为“前 $i − 1$ 件物品放入剩下的容量为 $v − C_i$ 的背包中”，此时能获得的最大价值就是 $F[i − 1, v − C_i]$ 再加上通过放入第 $i$ 件物品获得的价值 $W_i$。

注意到 $F[i,v]$ 只与之前的状态 $F[i-1, ...]$ 有关，所以可以枚举 $i$ 从 $1$ 到 $N$， $v$ 从 $0$ 到 $V$ ，通过边界 $F[0, 0...V] = 0$（即前 $0$ 件物品放入任何容量的背包中都只能获得价值 $0$）就可以把整个 $F$ 数组递推出来。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 1010;

int v[N], w[N];
int f[N][N];
int n, m;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)  cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 0; j <= m; ++j)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(j >= v[i])   f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout<<f[n][m]<<endl;
    
    return 0;
}

以上方法的时间和空间复杂度均为 $O(VN)$，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到 $O(V)$。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环 $i ← 1 . . . N$，每次算出来二维数组 $F[i, 0 . . . V]$ 的所有值。

那么，如果只用一个数组 $F[0 . . . V]$，能不能保证第 $i$ 次循环结束后 $F[v]$ 中表示的就是我们定义的状态 $F[i, v]$ 呢？

$F[i, v]$ 是由 $F[i − 1, v]$ 和 $F[i − 1, v − C_i]$ 两个子问题递推而来，能否保证在推 $F[i, v]$ 时（也即在第 $i$ 次主循环中推 $F[v]$ 时）能够取用 $F[i − 1, v]$ 和 $F[i − 1, v − C_i]$ 的值呢？

事实上，这要求在每次主循环中我们以 $v ← V . . . 0$ 的递减顺序计算 $F[v]$，这样才能保证计算 $F[v]$ 时 $F[v − C_i]$ 保存的是状态 $F[i − 1, v − C_i]$ 的值。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 1010;

int v[N], w[N];
int f[N];
int n, m;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)  cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = m; j >= v[i]; --j)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout<<f[m]<<endl;
    
    return 0;
}

【补充】

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。

有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。

一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

1. 如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了 $F[0]$ 为 $0$，其它 $F [1..V ]$ 均设为 $−∞$，这样就可以保证最终得到的 $F [V ]$ 是一种恰好装满背包的最优解。

2. 如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将 $F [0..V ]$ 全部设为 $0$。

这是为什么呢？

可以这样理解：初始化的 $F$ 数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。

1. 如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为 $0$ 的背包可以在什么也不装且价值为 $0$ 的情况下被“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，应该被赋值为 $-∞$ 了。

2. 如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为 $0$，所以初始时状态的值也就全部为 $0$ 了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题。