信号检测与估计笔记（1）

从接收机处所获得的信号x(t) = s(t) + v(t)，其中s(t)为包含所需传输信息的信号，而v(t)为传输后所混杂的噪声信号。接收信号x(t)即是该课程主要处理的对象。

其中噪声分为几类，加性噪声，乘性噪声或者说卷积噪声等，通常都会将非加性噪声转化为加性噪声，如对乘性噪声取对数，对卷积噪声进行傅里叶变换后再取对数等。另外，信号s(t)也有几种类型，①确定信号：信号中只含有时间变量，无其他不确定变量②有随机变量的信号：例如s(t)=A(t)cos( $w_{0}$ t+φ）③随机信号。

由于s(t)的状态我们不确定，所以假设有M个状态， $s_{1}$ , $s_{2},....s_{m}$ ，就像假设检验中一样，对于每个状态都会有一种假设h: $h_{1},....h_{m}$ ，所以信号检测的工作就是在一定的最优准则（至于是何种最优将会放在以后详解）下，从假设中选择最优的假设或者说是从假设中选择结果为真的假设。对于接收信号x（t），我们通常对其进行采样处理，对某一个时刻采样所得结果为 $x_{1},....x_{n}$ ，由这些采样点信息所构成的向量即是该时刻的一个观测向量，所有的观测向量构成的集合被称为观测空间，信号估计的工作是根据这些观测向量来估计未知参数。

另外就是一些该课程所需要用的概率和随机过程的一些基础知识。

（1）随机信号

分为实随机信号z=x+y与复随机信号 $\large z=x+jy$ ，其中x,y为实随机变量

（2）高斯随机变量的概率密度函数

这里主要提到的是向量形式的高斯概率密度函数，设k维实随机向量 $\bar{x}$ = $[x_{1},x_{2},.....x_{k}]^{T}$ ，均值向量则为 $\bar{\mu}=[\mu_{1},\mu_{2},....\mu_{k}]^{T}$ ,从而构成的协方差矩阵 $C=E[(\bar{x}-\bar{\mu})(\bar{x}-\bar{\mu})^{T}]$ ，从而所得的联合概率密度为：

$\large p(\bar{x})=\frac{1}{(2\pi)^{K/2}[det(C)]^{1/2}}exp(-\frac{1}{2}(\bar{x}-\bar{\mu})^{T}C^{-1}(\bar{x}-\bar{\mu}))$ 其中当 $\large \bar{\mu}=\bar{0}$ 时协方差矩阵将变成自相关矩阵R，当各 $\large x_{i}$ 之间独立时 $\large C=diag[\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},.....\sigma_{k}^{2}]$

复高斯随机变量的概率密度 $\large z=x+jy$ ， $\large E[x]=\mu_{x}$ ， $\large E[y]=\mu_{y}$ ， $\large var(x)=var(y)=\frac{\sigma^{2}}{2}$

则 $\large p(z)=\frac{1}{\pi\sigma^{2}}exp[-\frac{\left | z-\mu \right |^{2}}{\sigma^{2}}]$ ，其向量形式的公式为 $\large p(\bar{z})=\frac{1}{\pi^{K}[det(C)]}exp[-(\bar{z}-\bar{\mu})^{H}C^{-1}(\bar{z}-\bar{\mu})]$ 其中上标H表示共轭转置，具有性质 $\large A^{H}B=A^{T}B^{*}$ 。由函数可知 $\large \mu_{z}=\mu_{x}+j\mu_{y}$ ， $\large \sigma^{2}_{z}=E[\left | z-\mu \right |^{2}]$ ，但为了构造出与高斯概率密度函数一样的结构，通常令 $\large \sigma^{2}_{z}=\frac{1}{2}E[\left | z-\mu \right |^{2}]$

常用的积分方程有：

$\large Q(x)=\int_{x}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^-\frac{u^2}{2}du$

$\large \phi (x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du$ 其中 $\large Q(x)+\phi(x)=1$

误差方程 $\large erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}du$

余误差方程 $\large erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-u^{2}}du$ 同样的 $\large erf(x)+erfc(x)=1$

而Q(x)与误差方程也有一定关系 $\large Q(x)=\frac{1}{2}erfc(\frac{x}{\sqrt{2}})=\frac{1}{2}[1-erf(\frac{x}{\sqrt{2}})]$

（3）离散随机过程

对一个连续时间上的实随机过程进行周期为 $\large t_{k}=kT_{s}$ 的采样从而生成离散的随机过程 $\large x(kT_{s})$ ，该离散序列可以表示成 $\large x_{k}=s_{k}+n_{k}$ ，其中 $\large n_{k}$ 是一个0均值，方差为 $\large \sigma^{2}$ 的高斯随机变量，无论是单一变量形式还是向量形式，只要 $\large n_{k}$ 变量代表零均值高斯噪声，随机序列的均值都等于s的均值，方差等于 $\large n_{k}$ 的方差，其分布可以用前面的概率密度函数表示

（4）白噪声

自相关矩阵 $\large r(\tau )=E[x(t)x^{*}(t-\tau)]$

功率谱密度 $\large P(\omega )=\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$ ，可以看出功率谱密度是自相关矩阵的傅里叶变换形式

白噪声：若x(t)的自相关矩阵 $\large r(\tau)=\frac{N_{0}}{2}\delta(\tau)$ ，而功率谱密度 $\large P(\omega)=\frac{N_{0}}{2}$

信号检测与估计笔记（1）

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