poj 2891(一般模线性方程组) 中国剩余定理

传送门

题目大意：有一个数x，x%ai = ri ,给出n对ai和ri，问x的最小非负整数是什么，如果不存在输出-1

这是一道中国剩余定理 模板题  但是和一般的不同 这道题不满足除数两两互质。

不互素的中国剩余定理：

x%a1= r1 ; x%a2 = r2 ; 设k1,k2得到x = a1*k1 + r1 , x = a2*k2+r2 

那么a1*k1+r1 = a2*k2+r2 --> a1*k1 = (r2-r1) + a2*k2---->对整个式子进行a2取余，得到(a1*k1)%a2 = (r2-r1)%a2,这里面只有一个未知量k1,用扩展gcd求出k1,计算出x = a1*k1+r1

这个x只是满足x%a1= r1 ; x%a2 = r2 ;不一定满足x%a3 = r3,所以求出的x只是真正的解的一个特解，真正的解围ans

那么ans ≡ x%lca(a1,a2)  --> 其中只有ans是一个未知数，所以就将两个式子转换为了一个式子，这样不断的合并，求最终的结果。

判断是不是有解，在扩展gcd中求k1时判断。
 

话不多说 上模板 

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#include <iostream>
#include <stdio.h>
#define LL long long
#define maxn 100050
using namespace std;
LL m[maxn];
LL a[maxn];
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else {
        LL r = exgcd(b,a%b,y,x);
        y -= x*(a/b);
        return r;
    }
}
 
LL CRT(LL *a,LL *m,int  n)
{
    LL c = a[0], l = m[0];
    LL d, x, y;
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        d=exgcd(l, m[i],  x, y);
        if((a[i]-c)%d)
            return -1;
        x = (a[i] - c) / d * x % (m[i] / d);
        c += l * x;
        l = l / d * m[i];
        c %= l;
    }
    return c > 0 ? c : c + l;
}
 
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
        printf("%lld\n",CRT(a,m,n));
    }
    return 0;
}