【机器学习】逻辑回归模型

应用场景

推荐系统：分析购买某类商品的潜在因素，判断该类商品的购买概率。挑选购买过的人群A和未购买的人群B，获取两组人群不同的用户画像和行为特征数据。建立用户行为模型、商品推荐模型实现产品的自动推荐。

公式

对于二分类问题，给定训练集{(x1, y1), …, xn,yn)}，其中xi表示第i个用户的p维特征，yi∈{0,1}表示第i个用户是否购买过该商品。

模型满足二项式分布：
$P(y_{i}|x_{i})=u(x_{i})^y(1-u(x_{i}))^{(1-y_{i})}$
$u(x_i)=\tfrac{1}{1+(e^{-x_i^T\theta})}$
其中，θ为模型参数，包含该商品的偏置项。
通过最大似然估计来求解：
$L=P(y_1,...,y_n|x_1,...,x_n;\theta) =\prod_{i=1}^{n}P(y_i|x_i;\theta) =\prod_{i=1}^{n}u(x_i)^{y_i}(1-u(x_i)^{1-y_i})$
进一步可以得到负对数似然函数：
$L(\theta)=-logP(y_1,...,y_n|x_1,...,x_n;\theta,b) =-\sum_{i}^{n}((y_ilogu(x_i))+(1-y_i)log(1-u(x_i)))$
采用随机梯度下降法来求解数值：
$\theta=argmin_{\theta}\sum_{i}^{n}(y_ilogu(x_i)+(1-y_i)log(1-u(x_i)))$
对参数θ求导得到：
$\frac{\partial L}{\partial \theta}=\sum_{i}^{n}(g(x_i^T\theta)-y_i)x_i$
$g(x)=\tfrac{1}{1-e^{-x}}$
进一步可以得到：
$\theta^{t+1}=\theta^{t}-\rho (g(x_i^T\theta)-y_i)x_i$
其中，0<ρ<1是步长参数。

代码实现

损失函数的定义，正则化防止过拟合
$loss=-\tfrac{1}{m}[\sum_{i=1}^{m}(y_ilog(u_\theta(x_i))+(1-y_i)log(1-u_\theta(x_i)))]+\lambda\tfrac{1}{2m}\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2$

import random
import numpy as np
class LogisticRegression(object) :
    def __init__(self, x, y, lr=0.0005, lam=0.1):
        '''
        x: features of examples
        y: label of examples
        lr: learning rate
        lambda: penality on theta
        '''
        self.x = x
        self.y = y
        self.lr = lr
        self.lam = lam
        n = self.x.shape
        self.theta = np.array ([0.0] * (n + 1))
    def _sigmoid (self , x) :
        z = 1.0/(1.0 + np.exp((-1) * x))
        return z
    def loss_function (self):
        u = self._sigmoid(np.dot(self.x, self.theta)) # u(xi)
        c1 = (-1) * self.y * np.log (u)
        c2 = (1.0 - self.y) * np.log(1.0 - u)
        # 计算交叉熵 L(θ)求均值
        loss = np.average(sum(c1 - c2) + 0.5 * self.lam * sum(self.theta[1:] ** 2))
        return loss
    def _gradient(self, iterations) :
        # m是样本数, p是特征数
        m, p = self.x.shape
        for i in range(0, iterations):
            u = self._sigmoid(np.dot(self.x, self.theta))
            diff = self.theta - self.y
            for _ in range(0, p):
                self.theta[_]= self.theta[_] - self.lr * (1.0 / m) * (sum(diff * self.x [:, _]) + self.lam * m * self.theta[_])
                cost= self.loss_function()
    def run(self, iteration):
        self. _gradient(iteration)
    def predict(self, x):
        preds = self._sigmoid(np.dot(x, self.theta))
        np.putmask (preds, preds >= 0.5, 1.0)
        np.putmask (preds, preds < 0.5, 0.0)
        return preds

参考文献

《推荐系统与深度学习》黄昕等