对数函数的的上升速度

我们容易知道，对数函数虽然底数不同但都是经过点（1，0），但经过时斜率不同，是否能够试图找出经过点（1，0）时斜率为1时的对数函数的底数?
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问题分析：

令 $f(x)=log_a x$
则：
问：
$\lim_{x \rightarrow \infty}{(1 + \cfrac{1}{n})^n}=?$
构造数列 $\{x_n\}$
自然常数 $\lim_{x \to \infty}{(1 + \cfrac{1}{x})^x}=e$

根据前文中二项展开，已经证明数组 $\{a_n\}$ 单增有上界，因此必有极限记作 $e$

同时：
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根据夹逼准则，函数 $f(x)=(1 + \cfrac{1}{x})^x$ 的极限存在，为 $e$

导数

导数就是曲线的斜率。
二阶导数是斜率变化快慢的反应，表征曲线凹凸性。
根据 $\lim_{x \to \infty}{(1 + \cfrac{1}{x})^x}=e$ 可以得到函数 $f(x)=\ln x$ 的导数，进一步根据旱地公式、反函数求导等，得到其他初等函数的导数。

常用函数的导数

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导数的应用

1. 求解 $x^x$

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2. Taylor公式 - Maclaurin公式

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Taylor公式的应用1

数值计算：初等函数值的计算（在原点展开）
在实践中，往往需要做一定程度的变换

Taylor公式的应用：计算 $e^x$

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# 应用Taylor处理小数部分
def calc_e_small(r):
    print('r', r)
    # Taylor展开10项
    n = 10
    # 1 ~ n 的阶乘组成的array
    f = np.arange(1, n + 1).cumprod()
    print('f', f)

    # n个r组成array
    g = np.array([r] * n)
    print('g', g)

    # r的1~n次方
    b = g.cumprod()
    print('b', b)

    # e的n项Taylor展开
    return np.sum(b / f) + 1


def calc_e(x):
    '''
    e^x = 2^k * e^r     |r| <= 0.5 * ln2
    '''
    reverse = False
    if x < 0:
        x = -x
        reverse = True

    ln2 = 0.69314718055994530941723212145818
    c = x / ln2
    k = int(c + 0.5)
    r = x - k * ln2
    y = (2 ** k) * calc_e_small(r)
    if reverse:
        return 1 / y
    return y


t1 = np.linspace(-2, 0, 10, endpoint=False)
t2 = np.linspace(0, 2, 20)
t = np.concatenate((t1, t2))

# print(t)

y = np.empty_like(t)
for i, x in enumerate(t):
    y[i] = calc_e(x)

plt.plot(t, y, 'ro')

plt.plot(t, np.e ** t)

plt.show()

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2. $N \to \infty \Rightarrow ln N! \to N(ln N -1)$

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Taylor应用：计算sin

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def calc_sin_small(x):
    x2 = -x ** 2
    t = x
    f = 1
    sum = 0
    for i in range(10):
        sum += t / f
        t *= x2
        f *= ((2 * i + 2) * (2 * i + 3))
    return sum


def calc_sin(x):
    a = x / (2 * np.pi)
    k = np.floor(a)
    a = x - k * 2 * np.pi
    return calc_sin_small(a)


t = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi)

y = np.empty_like(t)

for i, x in enumerate(t):
    y[i] = calc_sin(x)

plt.xlim((-7, 7))
plt.ylim((-1.1, 1.1))
plt.plot(t, y,'go',label='Taylor(t)')
plt.plot(t,np.sin(t),'r-',label='sin(t)')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()