机器学习的数学基础一

一、概述

我们知道，机器学习的特点就是：以计算机为工具和平台，以数据为研究对象，以学习方法为中心；是概率论、线性代数、数值计算、信息论、最优化理论和计算机科学等多个领域的交叉学科。所以本文就先介绍一下机器学习涉及到的一些最常用的的数学知识。

二、线性代数

2-1、标量

一个标量就是一个单独的数，一般用小写的的变量名称表示。

2-2、向量

一个向量就是一列数，这些数是有序排列的。用过次序中的索引，我们可以确定每个单独的数。通常会赋予向量粗体的小写名称。当我们需要明确表示向量中的元素时，我们会将元素排
列成一个方括号包围的纵柱：

我们可以把向量看作空间中的点，每个元素是不同的坐标轴上的坐标。

2-3、矩阵

矩阵是二维数组，其中的每一个元素被两个索引而非一个所确定。我们通常会赋予矩阵粗体的大写变量名称，比如A。如果一个实数矩阵高度为m，宽度为n，那么我们说 $A\epsilon R^{m\times n}$ 。

矩阵这东西在机器学习中就不要太重要了！实际上，如果我们现在有N个用户的数据，每条数据含有M个特征，那其实它对应的就是一个N*M的矩阵呀；再比如，一张图由16*16的像素点组成，那这就是一个16*16的矩阵了。现在才发现，我们大一学的矩阵原理原来这么的有用！要是当时老师讲课的时候先普及一下，也不至于很多同学学矩阵的时候觉得莫名其妙了。

2-4、张量

几何代数中定义的张量是基于向量和矩阵的推广，通俗一点理解的话，我们可以将标量视为零阶张量，矢量视为一阶张量，那么矩阵就是二阶张量。

例如，可以将任意一张彩色图片表示成一个三阶张量，三个维度分别是图片的高度、宽度和色彩数据。将这张图用张量表示出来，就是最下方的那张表格：

其中表的横轴表示图片的宽度值，这里只截取0~319；表的纵轴表示图片的高度值，这里只截取0~4；表格中每个方格代表一个像素点，比如第一行第一列的表格数据为[1.0,1.0,1.0]，代表的就是RGB三原色在图片的这个位置的取值情况（即R=1.0，G=1.0，B=1.0）。

当然我们还可以将这一定义继续扩展，即：我们可以用四阶张量表示一个包含多张图片的数据集，这四个维度分别是：图片在数据集中的编号，图片高度、宽度，以及色彩数据。

张量在深度学习中是一个很重要的概念，因为它是一个深度学习框架中的一个核心组件，后续的所有运算和优化算法几乎都是基于张量进行的。

2-5、范数

有时我们需要衡量一个向量的大小。在机器学习中，我们经常使用被称为范数(norm) 的函数衡量矩阵大小。Lp 范数如下：

$\left| \left| x \right| \right| _{p}^{} =\left( \sum_{i}^{}{\left| x_{i} \right| ^{p} } \right) _{}^{\frac{1}{p} }$

所以：

L1范数 $\left| \left| x \right| \right|$ ：为x向量各个元素绝对值之和；

L2范数 $\left| \left| x \right| \right| _{2}$ ：为x向量各个元素平方和的开方。

这里先说明一下，在机器学习中，L1范数和L2范数很常见，主要用在损失函数中起到一个限制模型参数复杂度的作用，至于为什么要限制模型的复杂度，这又涉及到机器学习中常见的过拟合问题。具体的概念在后续文章中会有详细的说明和推导，大家先记住：这个东西很重要，实际中经常会涉及到，面试中也常会被问到！！！

2-6、特征分解

许多数学对象可以通过将它们分解成多个组成部分。特征分解是使用最广的矩阵分解之一，即将矩阵分解成一组特征向量和特征值。

方阵A的特征向量是指与A相乘后相当于对该向量进行缩放的非零向量 $\nu$ ：

$A\nu =\lambda \nu$

标量 $\lambda$ 被称为这个特征向量对应的特征值。

使用特征分解去分析矩阵A时，得到特征向量构成的矩阵V和特征值构成的向量 $\lambda$ ，我们可以重新将A写作：

$A=Vdiag\left( \lambda \right) V^{-1}$

2-7、奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

矩阵的特征分解是有前提条件的，那就是只有对可对角化的矩阵才可以进行特征分解。但实际中很多矩阵往往不满足这一条件，甚至很多矩阵都不是方阵，就是说连矩阵行和列的数目都不相等。这时候怎么办呢？人们将矩阵的特征分解进行推广，得到了一种叫作“矩阵的奇异值分解”的方法，简称SVD。通过奇异分解，我们会得到一些类似于特征分解的信息。

它的具体做法是将一个普通矩阵分解为奇异向量和奇异值。比如将矩阵A分解成三个矩阵的乘积：

$A=UDV^{T}$