机器学习的数学基础（贰）

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概率与统计（Probability and Statistics）

1 概率

1.1 条件概率（Conditional Probability）

$P(A|B)= \frac {P(A\cap B )}{P(B)}$

A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。
例题：老王有两个孩子，亲生的！
A：他告诉有一个是男孩子，求另一个是女孩子的概率。
B：我看到了一个是男孩，求另一个是女孩的概率。
答案：A是2/3,B是1/2。

1.2 全概率（Total Probability）

$P(B)=P(A_1 \cap B)+…+P(A_n \cap B)=P(B|A_1)P(A_1)+…P(B|A_n)P(A_n)$

1.3 贝叶斯法则（Bayes Rule）

$P(A_i|B)= \frac {P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}=\frac {P(A_i)P(B|A_i)}{P(B|A_1)P(A_1)+…P(B|A_n)P(A_n)}$

推导 $P(A\cap B )=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$

$P(H|D)= \frac {P(H)P(D|H)}{P(D)}$
等式右边 $P(H)$为先验概率， $P(D|H)$为似然概率， $P(D)$为证据。等式左边 $P(H|D)$为后验概率。

1.4 独立(Independence)

如果A和B是独立的，那么满足：
$P(A \cap B)=P(A)P(B)$
如果P(B)>0,则同时满足：
$P(A|B)=P(A)$
如果A，B独立，如果有事件C，则满足：
$P(A \cap B|C)=P(A|C)P(B|C)$
如果A，B独立，且 $P(B \cap C)>$ 0,则满足：
$P(A|B \cap C)=P(A|C)$

2 统计

2.1 二项式概率(Binomial Probabilities)

例如：一个硬币投掷N次，求正面出现k次的概率。
$p_X(k)=P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2…n$

2.2 期望（Expectation）

随机变量的平均值。
$E[X]=\sum xp_X(x)$
复合函数求期望：
$E[g(x)]=\sum g(x)p_X(x)$

2.3 方差（Variance）

随机变量的波动性。
$var(X)=E[(X-E[x])^2]$

2.4 协方差(Covariance)

$Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E(Y))]$
如果X，Y线性相关，则满足：
$Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$

2.5 概率分布

2.5.1 伯努利分布（Bernoulli Distribution）

代表一次 YES 或者 NO的实验。
$f(k;p)=p^k(1-p)^{1-k},k \in {0,1}$
$E(x)=p$, $Var[x]=pq$.

2.5.2 多项式分布（Multinomial Distribution）

例子：投掷骰子1000次，其中100次1点，200次2点，300次3点，100次4点，100次5点，200次6点的概率。
$f(x_1,…,x_n;n,p_1,…,p_k)=P_r(X_1=x_1 and ... and X_k=x_k)$
$...=\frac {n!}{x_1!...x_n!}p_1^{x_1}\times...\times p_k^{x_k}=C_n^{x_1}\times C_{n-x_1}^{x_2}\times ...\times C_{n-x_1-...x_n-1}^{x_n}=\frac {n!}{x_1!...x_n!}p_1^{x_1}\times...\times p_k^{x_k}$

2.5.3 泊松分布（Poisson Distribution）

泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

$f(k;\lambda)=Pr(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

2.5.4 高斯（正态）分布（Gaussian (Normal) Distribution）

常见的一种假设分布。
$f(x;\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

$\mu是期望，\sigma^2是方差$

2.5.5 伽马分布（Gamma Distribution）

伽马函数：
$\Gamma(n)=(n-1)!$
$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infin} x^{z-1}e^{-x}dx$

推导 $\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infin} x^{z}e^{-x}dx=[-x^ze^{-x}]_0^{\infin}+\int_{0}^{\infin}zx^{z-1}e^{-x}dx=z\int_{0}^{\infin} x^{z-1}e^{-x}dx=z\Gamma(z)$

伽玛分布（Gamma Distribution）是统计学的一种连续概率函数，是概率统计中一种非常重要的分布。“指数分布”和“ $\chi^2$分布”都是伽马分布的特例。 Gamma分布中的参数α称为形状参数（shape parameter），β称为尺度参数(scale parameter)。
$X\sim\Gamma(\alpha,\beta)\equiv Gamma(\alpha,\beta)$
$f(x;\alpha,\beta)=\frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1}e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)},x>0,\alpha>0,\beta>0$

2.5.6 贝塔分布（Gamma Distribution）

贝塔分布（Beta Distribution) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数，在机器学习和数理统计学中有重要应用。在概率论中，贝塔分布，也称B分布，是指一组定义在(0,1) 区间的连续概率分布。
$f(x;\alpha,\beta)=constant\times x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta -1}}{\int_0^1u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du}$
$...=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta -1}=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta -1}$

3 贝叶斯定理的例子（补充）

老王的闺女在沙漠里面举行了婚礼，沙漠里一年只有5天下雨，可惜的是天气预报说结婚那天会下雨，天气预报说会下雨，有90%的概率真的下雨，那么婚礼那天真下雨的概率是多少？

解析：设事件A为天气预报说下雨，事件B为真的下雨。
这道题我们所求为 $P(B|A)$，罗列一下我们已经知道的条件。 $P(A|B)=0.9,P(A|not B)=0.1,P(B)=5/365,P(not B)=360/365$。
所以 $P(B|A)=P(A|B)\times P(B)/P(A),P(A)=P(A|B)⋅P(B)+P(A|notB)⋅P(notB)=0.111$
求解结束。

4 辛普森悖论（Simpson’s paradox）

“校长，不好了，有很多男生在校门口抗议，他们说今年研究所女生录取率42%是男生21%的两倍，我们学校遴选学生有性别歧视”，校长满脸疑惑的问秘书：“我不是特别交代，今年要尽量提升男生录取率以免落人口实吗？”
秘书赶紧回答说：“确实有交代下去，我刚刚也查过，的确是有注意到，今年商学院录取率是男性75%，女性只有49%；而法学院录取率是男性10%，女性为5%。二个学院都是男生录取率比较高，校长这是我作的调查报告。”

“秘书，你知道为什么个别录取率男皆大于女，但是总体录取率男却远小于女吗？”
此例这就是统计上著名的辛普森悖论(Simpson’s Paradox)。
$\left\{ \begin{array}{l} \frac ba>\frac fe\\ \frac dc>\frac hg \end{array} \right.\not\Rightarrow\frac{b+d}{a+c}>\frac{f+h}{e+g}$

为了避免辛普森悖论出现，就需要斟酌个别分组的权重，以一定的系数去消除以分组资料基数差异所造成的影响，同时必需了解该情境是否存在其他潜在要因而综合考虑。