2020.02.06日常总结——树上问题

$\color{green}{树上dp}$

• 顾名思义，即树上的dp问题。
• 有两种转移方式：一是从根转移到叶子，二是从叶子转移到根。在实际应用中，从叶子转移到根的方式应用的更多。
• 树上dp在实现起来的时候，可能需要配合贪心等其它高效的算法，甚至于线段树等高效数据结构。
• 代码实现起来的时候，常常用递归实现，因为树的定义就是递归定义的。同时，一定要注意不要从一个点又转移回了它的父亲，否则，一定会TLE。
• 因为树的点数 $n$经常是 $10^5$级别的，所以一定要注意long long。

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$\color{green}{基环树}$

$\color{blue}{【基础知识】：}$

• 基环树是一种特殊的图的结构。它由 $n$个点和 $n$条边组成，不仅全图强联通，而且只有一个环。
• 根据树的特点和基环树的定义，我们可以发现基环树就是一棵树在加一条边。这是基环树很重要的一个性质。
• 所以，一般解决基环树上问题时，我们需要找到环上一边，如何把它断掉，转化为树来求解。

$\color{blue}{【如何找环】：}$

$\color{orange}{对于无根树：}$

首先，像普通的树一样，从根到叶子访问，访问时记录每个点的父亲。

假设我们正在枚举点 $u$，枚举与u所有的相邻的点 $v$，如果 $v$已访问且 $v$不是 $u$的父亲，那么 $(u,v)$就是环上的一边。

注意，这种方法只能找一条，且时间复杂度为 $O(n+m)$。

$\color{orange}{对于有根树：}$

我们可以随便指定一个顶点 $u$，从它开始，如果一个点 $v$的 $fa$没有被标记，我们先标记 $fa(v)$，如果将 $v$记为 $fa(v)$。

不断重复如上的算法，直到某个点 $t$的 $fa(t)$已经被标记，那么 $(fa(t),t)$就是环上的一边。

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$\color{green}{实例——洛谷P2607\ \ \ 骑士 }$

$\color{blue}{【题意】：}$ Z国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各界的赞扬。

最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对Z国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境中安逸了数百年的Z国又怎能抵挡的住Y国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。

骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出征的。

战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。

为了描述战斗力，我们将骑士按照 $1$至 $N$编号，给每名骑士一个战斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

$\color{blue}{【思路】：}$ 我们把每个骑士和他最痛恨的骑士之间连一条边，并把他最痛恨的骑士作为他的“父亲”。不难发现，这个模型是一棵有向基环树。

所以，我们枚举环上的边，把它断开，转化为树。用类似没有上司的舞会的 $dp$方法就可以完成。

注意数组别开太多，否则任意 $MLE$。注意常数不要太大，否则任意 $TLE$。

$\color{blue}{【代码】：}$

const int N=1e6+100;
#define ll long long
struct node{
	int next,to;
}e[N];int h[N],tot,n,fa[N];
inline void add(int a,int b){
	e[++tot]=(node){h[a],b};h[a]=tot;
}
int profit[N];ll f[N][2],ans;bool visit[N];
void dp(int u,int fa,int root){
	f[u][1]=profit[u];visit[u]=true;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next){
		register int to=e[i].to;
		if (to==root) continue;
		dp(to,u,root);f[u][1]+=f[to][0];
		f[u][0]+=max(f[to][0],f[to][1]);
	}
}
inline ll calc(int u){
	memset(f,0,sizeof(f));
	dp(u,-1,u);return f[u][0];
}

void find_circle(int u){
	visit[u]=true;int root=u;
	while (!visit[fa[root]]){
		visit[fa[root]]=true;
		root=fa[root];
	}
	ans+=max(calc(root),calc(fa[root]));
}
inline void initialization(){
	memset(visit,0,sizeof(visit));
	memset(profit,0,sizeof(profit));
	memset(h,0,sizeof(h));ans=tot=0;
}
int main(){
//	freopen("t1.in","r",stdin);
	n=read();initialization();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		profit[i]=read();
		add(fa[i]=read(),i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if (!visit[i]) find_circle(i);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}