2020.01.01日常总结

洛谷P2856

【题目翻译】： 奶牛的名字都是由英文字母表的前 $L(1 \leq L \leq 26)$个字母构成的（全部为大写字母且长度 $\leq 10$）。现在奶牛们想设计一种手机， 有 $B$个按键。请你把这 $L$个字母按顺序分配给 $B$个按键，使能够通过按这些键而唯一确定的奶牛数尽量多。求最多可以唯一确定多少头奶牛，输出方案。如果有多种方案，输出编号小的按键容纳字母最多的方案。

【思路】： 暴力枚举每个字母分配给哪个按键。记 $ch[i]$表示字母 $i$分配给按键 $ch[i]$。不难发现， $ch$可以用搜索算法得出。

假设我们已经得到了 $ch[i]$，考虑如何计算可以唯一确定多少头奶牛的名字。

依题意，每头奶牛的名字长度 $\leq 10$，我们可以视整个字符串为一个 $B+1$进制的数，这样就可以判断每个字符串的hash值。得到hash值后，我们就可以判断每个字符串是否只出现一次了。

【注意】： 数据的开头有一个没有用的整数，必须把它输入但忽略掉。

【代码】：

int L,B,ans,ch[30],CH[30];
string str[1010];int n;
long long num[1010];
void updata_answer(){
	memset(num,0,sizeof(num));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<str[i].size();j++)
			num[i]=num[i]*(B+1)+ch[str[i][j]-'A'+1];//计算hash值
	sort(num+1,num+n+1);
	register int tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if (num[i]!=num[i-1]&&num[i]!=num[i+1]) tot++;//计算有多少个不同的字符串
	if (tot>=ans){//注意这样才保证了答案字典序最小
		ans=tot;
		memcpy(CH,ch,sizeof(ch));
	}
}
void dfs(int sub,int color){
	if (sub>L){
		if (color>=B)
			updata_answer();
		return;
	}
	if (sub>1&&color<B){
		ch[sub]=color+1;
		dfs(sub+1,color+1);
	}
	if (color+L-sub>=B){
		ch[sub]=color;
		dfs(sub+1,color);
	}
	ch[sub]=-1;
}
int test_number;
int main(){
	cin>>test_number;test_number=1;//忽略掉这个无用的数字
	while (test_number--){
		memset(ch,-1,sizeof(ch));
		cin>>B>>L>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			cin>>str[i];
		dfs(1,1);CH[0]=CH[1]-1;
		printf("%d",ans);
		for(int i=1;i<=L;i++)
			if (CH[i]!=CH[i-1])
				printf("\n%c",(char)(i+'A'-1));
			else printf("%c",(char)(i+'A'-1));
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

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洛谷P3708

【题意】： 输入一个整数 $n$，记
$F(i)=\sum^n_{j=1} i \%j$
求 $F(1),F(2),F(3)...F(n)$。

【思路】： 假设我们已经知道了 $F(i)$，考虑如何 $O(1)$推得 $F(i+1)$，我们发现被模数增加 $1$，取模后的结果要么变为 $0$，要么也随之增加 $1$。

假设所有的结果都增加 $1$，那么结果就增加 $n$。哪些数会变为零呢？当然是 $i+1$的因数啦。

举个例子， $n=5,F(4)=4 \% 1+4 \% 2+4 \% 3+4 \%4+4 \%5=0+0+1+0+4,F(5)=5 \% 1 + 5 \% 2+5 \% 3 +5 \% 4 +5 \% 5=0+1+2+1+0$。对比 $F(4),F(5)$中的每一项就可以得到如上的规律了。

记 $Q(i)$表示 $i$的因数和，则：
$F(i+1)=F(i)+n-Q(i+1)$

这就可以递推计算了，当然 $F(1)=n-1$，而 $Q(i)$可以在 $O(n \times log_n)$的时间复杂度内提前计算出来，然后就是 $O(n)$递推计算了。

【代码】：

#define ll long long
void write(ll a,bool b){
	if (a==0){
		if (b) putchar('0');
		return;
	}
	else if (a<0){
		putchar('-');
		write(-a,false);
	}
	else{
		write(a/10,false);
		putchar(a%10+'0');
	}
}
void print(ll a){
	write(a,true);
	putchar(' ');
}
const int N=1e6+100;
ll f[N],cnt[N];int n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n/i;j++)
			f[i*j]+=i;
	cnt[1]=n-1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		cnt[i]=cnt[i-1]+n-f[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		print(cnt[i]);
	return 0;
}