2020.01.21日常总结

$\color{green}{CF808D\ \ \ \ \ Array\ \ Division}$

$\color{blue}{【题意】：}$ 给你一组数（个数为 $n$），问是否可以最多移动一个数，使得这一串数可以分成两个部分，每一部分所有数的和相等。如果可以，则输出YES，否则请输出NO。（翻译摘自洛谷）

$\color{blue}{【思路】：}$ 首先，最基本的，如果这组数的总和（记为 $sum$）是奇数，那么肯定输出NO。

在接着，我们可以考虑暴力，即枚举把哪个数移动到哪个位置上，但是会超时。

我们自然而然可以想到这样的算法：从前往后枚举 $i$，统计 $\sum^{i}_{j=1} a_j$（我们记为 $ans$），如果 $\frac{sum}{2}-ans$在原数组出现过，那么就可以达到题目要求。

#define gc getchar()
#define g(c) isdigit(c)
inline int read(){
	char c=0;int x=0;bool f=0;
	while (!g(c)) f=c=='-',c=gc;
	while (g(c)) x=x*10+c-48,c=gc;
	return f?-x:x;
}
const int N=1e5+100;
typedef long long ll;
int a[N],n,b[N];ll ans,sum;
bool binary_search(int p){
	int l=1,r=n,mid;
	while (l<=r){
		mid=(l+r)>>1;
		if (b[mid]==p)
			return true;//找到数字p了，返回 
		else if (b[mid]>p)
			r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	return false;//找到这了，证明没有这个数字 
}
//函数功能：查找b（排序后的a数组）中是否有数字p
int main(){
	n=read();ans=sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=b[i]=read();
		sum=sum+a[i];
	}
	if (sum%2){
		printf("NO");
		return 0;
	}
	sort(b+1,b+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=a[i];
		if (binary_search(sum/2-ans)){
			printf("YES");
			return 0;
		}
	}
	printf("NO");
	return 0;
} 

我们发现这样做是错的 （惨痛的教训），原因有两个：一是我们只考虑了把后面的数字往前移动，其实际上，后面的数字也可以往前移动。解决方案是在加一重枚举，从后往前考虑。二是如果我们需要的数字只有一个，而且在 $[1,i]$之中，我们就会把它当作两个。解决方案是只在 $[i+1,n]$中查找它是否存在。

#define gc getchar()
#define g(c) isdigit(c)
inline int read(){
	char c=0;int x=0;bool f=0;
	while (!g(c)) f=c=='-',c=gc;
	while (g(c)) x=x*10+c-48,c=gc;
	return f?-x:x;
}
const int N=1e5+100;
typedef long long ll;
int a[N],n,b[N];ll ans,sum;
bool find(ll p,int begin,int end){
	if (p==0) return true;
	int l=begin,r=end,mid;
	while (l<=r){
		mid=(l+r)>>1;
		if (b[mid]==p)
			return true;//找到数字p了，返回 
		else if (b[mid]>p)
			r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	return false;//找到这了，证明没有这个数字 
}
//函数功能：查找b（排序后的a数组）从begin到end中是否有数字p
int main(){
	n=read();ans=sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=b[i]=read();
		sum=sum+a[i];
	}
	if (sum%2){
		printf("NO");
		return 0;
	}
	sort(b+1,b+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=a[i];if (ans>sum/2) break;
		if (find(sum/2-ans,i+1,n)){
			printf("YES");
			return 0;
		}
	}
	ans=0;
	for(int i=n;i;i--){
		ans+=a[i];if (ans>sum/2) break;
		if (find(sum/2-ans,1,i-1)){
			printf("YES");
			return 0;
		}
	}
	printf("NO");
	return 0;
} 

虽然这样做看上去是完美无瑕的，然而我们发现这样还是错的 （又是惨痛的教训）。为什么呢（请读者稍作停留，思考一下，这对提升你的思维能力很有帮助！）？

答案是这样的。我们把 $a$数组排序后得到了 $b$数组，但是由于排序会 $\color{red}{破坏原数组前后数字间的相对位置}$。所以 $b$数组中的第 $1$到 $i-1$个数也好，第 $i+1$到第 $n$个数也罢，都不一定是 $a$数组中的原数，也就是说，我们依然没有解决如上所述的问题！！！

解决方法有两个：一是每次把 $a$数组中需要查找的数放入 $b$数组中，但是这样做可能会导致超时。二是运用前缀和算法。把 $b$数组改为 $a$数组的前缀和数组。在第一重循环中，我们查找 $b[i+1..n]$中是否有 $\frac{b[n]}{2}+a[i]$（ $b[n]$为总和），如果有，则把 $a[i]$移动到这个位置之后，正好 $OK$；第二重循环类似，只是查找 $\frac{b[n]}{2}-a[i]$，请读者思考为什么。

#define gc getchar()
#define g(c) isdigit(c)
inline int read(){
	char c=0;int x=0;bool f=0;
	while (!g(c)) f=c=='-',c=gc;
	while (g(c)) x=x*10+c-48,c=gc;
	return f?-x:x;
}
const int N=1e5+100;
typedef long long ll;
int a[N],n;ll b[N];
bool find(ll p,int begin,int end){
	int l=begin,r=end,mid;
	while (l<=r){
		mid=(l+r)>>1;
		if (b[mid]==p)
			return true;//找到数字p了，返回 
		else if (b[mid]>p)
			r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	return false;//找到这了，证明没有数字p 
}
//函数功能：查找b（a数组的前缀和数组）从begin到end中是否有数字p
int main(){
	freopen("t1.in","r",stdin);
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
		b[i]=b[i-1]+a[i];
	}
//因为a数组内的数都是正整数，所以b数组天然有序 
	if (b[n]%2){//总和是奇数，一定不能分为两个相等的部分 
		printf("NO");
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if (find(b[n]/2+a[i],i+1,n)){
			printf("YES");
			return 0;
		}
	for(int i=n;i;i--)
		if (find(b[n]/2-a[i],1,i-1)){
			printf("YES");
			return 0;
		}
	printf("NO");
	return 0;
} 

终于 $AC$了。