2019.12.06日常总结

二分

二分分为二分查找和二分答案。

二分查找就是在一个有序的数组中查找一个数是否存在或位置。我们可以从中间找齐，因为数组有序，所以如果该数 $>$我们所需要的数，就可以在区间左边寻找；如果大于，就在右边；如果等于，就最好了，直接处理即可。与之有关的库函数有lower_bound()和upper_bound()，作用分别是找有序数组第一个 $\geq$给定数和第一个 $>$给定数的数。二分查找的时间复杂度取决于数组的长度（记为 $n$），即 $O(logn)$。

二分答案就是利用题目的单调性或可二分性，二分出一个候选答案 $mid$，通过一个高效的检查函数检查 $mid$是否可行，如果可行，则记录答案。一般可以用来解决“双最”问题，即最大值最小或最小值最大。时间复杂度非常优秀，是 $O($二分次数 $\times$单次判定时间复杂度 $)$。以下便是一例。

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洛谷P1542

【题意】： 小K成功地破解了密文。但是乘车到X国的时候，发现钱包被偷了，于是无奈之下只好作快递员来攒足路费去Orz教主……

一个快递公司要将 $n$个包裹分别送到 $n$个地方，并分配给邮递员小K一个事先设定好的路线，小K需要开车按照路线给的地点顺序相继送达，且不能遗漏一个地点。小K得到每个地方可以签收的时间段，并且也知道路线中一个地方到下一个地方的距离。若到达某一个地方的时间早于可以签收的时间段，则必须在这个地方停留至可以签收，但不能晚于签收的时间段，可以认为签收的过程是瞬间完成的。

为了节省燃料，小K希望在全部送达的情况下，车的最大速度越小越好，就找到了你给他设计一种方案，并求出车的最大速度最小是多少。

【输入格式】： 第 $1$行为一个正整数 $n$，表示需要运送包裹的地点数。

下面 $n$行，第 $i+1$行有 $3$个正整数 $x_i,y_i,s_i，$表示按路线顺序给出第 $i$个地点签收包裹的时间段为 $[x_i, y_i]$，即最早为距出发时刻 $x_i$，最晚为距出发时刻 $y_i$，从前一个地点到达第 $i$个地点距离为 $s_i$，且保证路线中 $x_i$递增。

可以认为 $s_1$为出发的地方到第 $1$个地点的距离，且出发时刻为 $0$。

【输出格式】： 仅包括一个正数，为车的最大速度最小值，结果保留两位小数。

【思路】：

最大值最小，这不就是二分的经典应用吗？所以思路非常简单：先二分出 $mid$，在判定 $mid$是否可行。

别开心的太早，这是一道经典的实数二分题，顾名思义，就是在实数上二分。这要注意的地方可多了！比如精度啊什么的。

事实上如果题目要求保留到 $k$位，我们就把答案算到 $k+3$位即可。比如本题要求保留两位，我们就算到五位，就可以了。

另外，实数二分的常见方法有固定精度法（如本代码）和固定次数法。

【代码】：

const int N=200100;
double l,r,mid,eps=1e-5;
int s[N],t[N],L[N],n;
inline bool check(double mid){
	if (mid==0.0) return false;
	register long double times=0;
	//注意C++中有time关键字，用time会CE，所以用times
	for(int i=1;i<=n;i++){
		times+=L[i]/mid;
		if (times>t[i])
			return false;
		if (s[i]>times)
			times=s[i];
	}
	return true;
}
#define gc getchar()
#define g(c) isdigit(c)
inline int read(){
	char c=0;int x=0;bool f=0;
	while (!g(c)) f=c=='-',c=gc;
	while (g(c)) x=x*10+c-48,c=gc;
	return f?-x:x;
}//这就是快读
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		s[i]=read();
		t[i]=read();
		L[i]=read();
	}
	l=0.0;r=1000000.0;//r少一个零都不行！
	while (r-l>=eps){
		mid=(l+r)/2;
		if (check(mid))
			r=mid;
		else l=mid;
	}
	printf("%.2lf",l);
	return 0;
}