2020.01.15日常总结

$\color{green}{manacher算法}$

$\color{blue}{【例题】：}$ 给出一个只由小写英文字符a,b,c...y,z组成的字符串 $S$，求 $S$中最长回文串的长度（见洛谷P3805）。

$\color{blue}{【思路】：}$ 我们先考虑暴力算法：枚举一个回文中心，然后向两边扩展。

这样做有两个问题：一是需要区分奇数和偶数。比如aba和abba，我们肉眼一看就知道两个都是回文，但是对于偶数回文串而言，它们的回文中心不是一个可见字符（比如abba的回文中心在两个b之间）。二是时间复杂度太高。枚举的时间复杂度为 $O(|S|)$（ $|S|$表示字符串 $S$的长度）。而拓展的时间复杂度最坏为 $O(|S|)$，总的时间复杂度为 $O(|S|^2)$。

$\color{red}{manacher算法（中文名：马拉车算法）}$，是解决此问题的 $O(|S|)$算法。首先，为了统一奇偶情况，我们在每个字符之间加上一个没有在 $S$中出现的字符（比如aba变成$a$b$a$）。

记 $p[i]$表示以第 $i$个字符为回文中心的最长回文半径， $r$为最长回文右边界， $mid$为最长回文右边界中心， $i$表示当前求解 $p[i]$。

考虑如何求 $p$数组，求解有好几种情况：

• 当 $i$在 $r$左边且在 $mid$右边时， $i$关于 $mid$的对称点为 $mid \times 2-i$，我们令 $p[i]=p[j]$，然后从 $i+p[i]$开始拓展求解。
• 当 $i$在 $r$右边时，我们就按原始方法进行计算。

$\color{blue}{【代码】：}$

const int N=11001000;
char s[N],s1[N<<1];
int p[N<<1],ans,n;
inline void manacher(){
	s1[0]='~';s1[1]='$';
	for(int i=1;i<=n;i++){
		s1[i*2]=s[i];
		s1[i*2+1]='$';
	}
}
inline void calc_answer(){
	for(int t=1,r=0,mid=0;t<=2*n+1;t++){
		if (t<=r) p[t]=min(p[mid*2-t],r-t+1);
		while (s1[t-p[t]]==s1[t+p[t]]) ++p[t];
		if (p[t]+t>r) r=p[t]+t-1,mid=t;
		if (p[t]>ans) ans=p[t];
	}
}
int main(){
//	freopen("t1.in","r",stdin);
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1);
	manacher();
	calc_answer();
	printf("%d",ans-1);
	return 0;
}