这一篇文章我们专门说一说线性规划的对偶问题：
引例
一个公司，生产的设备如下：
从之前的学习来看，我们可以列出一个线性规划式子
max = 2x1 + x2
s.t. 5x2 <=15
6x1 + 2x2 <= 24
x1 + x2 <=5
x1,x2 >=0
现在我们假设这样一个情况，另外一个公司想承包这个器械，那我们看一看应该是怎么样的线性规划？
很显然，首先要的是花费最少，条件是给的钱必须要比他们自己生产要高
min = 15y1 + 24y2 + 5y3
s.t. 6y2 + y3 >= 2
5y1 + 2y2 +y3 >=1
y1,y2 >=0
这样，这两个式子就是对偶式子
下面总结规律
1.一条限制条件对应其对偶问题的一个变量
2.max 的对偶问题是 min
3.对偶问题的 限制条件的符号 和变量大小符号之间有联系，下面细说
4.原问题的资源限量和对偶问题的系数有关系
首先，我们学会用矩阵的形式去描述一个线性规划问题
我们定义下面几个向量：
C = ( C1 , C2) ----对应原问题的系数矩阵
b =[ b1 ]
[ b2 ] ----对应原问题的资源限量
Y = (Y1 , Y2 ) ----对应对偶问题的变量
X =[ X1 ]
[ X2 ] ----对应原问题的变量
下面我们会用这种表示方法去表示一个线性规划问题
得到了第一个公式：
小于等于形式的对偶
max z = C X min = Y b
s.t. AX <= b ⇒ s.t. YA >= C
X >=0 Y >=0
(其中的乘法都是 矩阵的乘法)
这个就是我们上面说的问题
大于等于形式的对偶
max z = C X min = Y b
s.t. AX >= b ⇒ s.t. YA >= C
X >=0 Y <=0
证明：
我们把式子转换成标准型：
max z = C X min = -Y b
s.t. -AX <= -b ⇒ s.t. -YA >= C
X >=0 Y >=0
到此就很显然了，我们把 -Y = y，就可以得到公式中的答案
min = yb
s.t. yA >=C
y<=0
等于形式的对偶
max z = C X min = Y b
s.t. AX = b ⇒ s.t. YA >= C
X >=0 Y 无限制
证明：
我们一样尝试化成标准型
max z = C X max z =C X
s.t. AX <= b ⇒ s.t. AX <= b
AX >= b -AX<= -b
X >=0 X>=0
化成矩阵就是
[ A] [ b]
[-A]X <=[-b] 画的比较抽象，给个图吧
这时候我们发现已经和第一种情况一样了，只要按照公式就可以
再根据矩阵乘法展开，我们发现，最后可以写出这样的式子
min = (Y1 - Y2)b
s.t. (Y1-Y2)A >=C
Y1,Y2>=0
令 Y1 - Y2 =y
得到了公式：
min =yb
s.t. yA>=c
y无限制
到此我们列出所有的情况，总结一下：
1.max => min 约束和变量一一对应
约束<= ⇒ 变量>=
约束>= ⇒ 变量<=
约束 = ⇒ 变量无限制
变量<= ⇒ 约束<=
变量>= ⇒ 约束>=
变量无限制 ⇒ 约束=
2.min => max 约束和变量一一对应
约束<= ⇒ 变量<=
约束>= ⇒ 变量>=
约束 = ⇒ 变量无限制
变量<= ⇒ 约束>=
变量>= ⇒ 约束<=
变量无限制 ⇒ 约束=
是不是看着慌了？
总结一下：
1.大变小，约束对应对偶的变量取反符号，变量对对偶规律相反
2.小变大，约束对应对偶的变量取原符号，变量对对偶规律相反
Over，需要练习的，加油
