数学建模之线性规划问题与LINGO软件的使用

线性规划（Linear programming,简称LP），是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。

LINGO基本用法

不会LINGO的建议先看完这个再往下看

我们数学建模一般就是MATLAB，LINGO可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。所以我们在做规划问题时用LINGO。

基础知识

★ 程序以“MAX”（或“MIN”）开始，表示目标最大化（或最小化）问题，后面直接写出目标函数表达式和约束表达式；
★ 目标函数和约束之间用“ST”分开；（或用“s.t.”，“sunject to”）
★ 程序以“END”结束（ “END” 也可以省略）。
★ 系数与变量之间的乘号必须省略。
★ 系统对目标函数所在行自动生成行名“1）”,对约束默认的行名分别是“2)” “3)”…，用户也可以自己输入行名；行名放在对应的约束之前。
★ 书写相当灵活，不必对齐，不区分字符的大小写。
★ 默认所有的变量都是非负的, 所以不必输入非负约束。
★ 约束条件中的“<=” 及“>=”可分别用“<” 及“>”代替。
★ 一行中感叹号“！”后面的文字为是注释语句，可增强程序的可读性，不参与模型的建立。
★ LINGO默认x，y变量大于0，若有其他条件必须要写。
例如
求解

程序

max   2x+3y
st    4x+3y<=10
       3x+5y<12
end

运行结果

具体结果的含义我们用下面的例题具体来说。

例1 加工奶制品的生产计划

问题引出：

对牛奶制品我们现有两种生产方式：

1. 生产A产品：一桶牛奶，加工12小时，可生产3kgA，获利24元/kg。
2. 生产B产品：一桶牛奶，加工8小时，可生产4kgA，获利16元/kg。
   

条件：共有50桶牛奶，480小时，由于生产水平不足最多只能加工100kgA。

要求： 制订生产计划，使每天获利最大

1. 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?
2. 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?
3. A的获利增加到 30元/kg，应否改变生产计划？

模型建立

设x桶牛奶用于生产A，y桶生产B。
则：

• 获利：
  • A: $24*3*x$
  • B: $16*4*y$
  • 总： $max \quad z=72*x+64*y$
• 约束条件：
  • 原料： $x+y\leq50$
  • 时间： $12*x+8*y\leq480$
  • 加工能力： $3*x\leq100$
  • 非负： $x, y\geq0$

模型分析

• 比例性：
  • x，y对目标函数的“贡献”与x,y的取值成正比
  • x，y对约束条件的“贡献”与x,y的取值成正比
• 可加性：
  • x，y对目标函数的“贡献”与x，y的取值无关
  • x，y对约束条件的“贡献”与x，y的取值无关

模型求解

这里x1为x，x2为y


求解可以用MATLAB，当然这里我们用LONGO，因为LINGO比MATLAB好用

例题解

model:
max = 72*x1+64*x2;
[milk]   x1 + x2<50;
[time] 	 12*x1+8*x2<480;
[cpct]   3*x1<100;
end 

最终结果就是20桶用于生产A，30桶用于生产B，最优解为3360元

敏感度分析
打开方式：

1. 把这个Dual Computation设置成prices & rangees
   
2. 从这里打开command窗口，或者ctrl +1 打开
   
3. 窗口中输入range回车
   
   就出现了这个。
   名词解释：
   Objective Coefficient Ranges：目标系数范围
   Coefficient：系数
   Increase：增加
   Decrease：下降
   这部分就是系数可以在加上可以增加的，减去可以减少，得到的两个值，在这两个值的范围内对结果无影响。
   下面那部分类似。
   

问题解析

1. 35元可买到1桶牛奶，要买吗?
   • 要买，一桶利润增长48，35一桶还能多赚13
2. 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元?
   • 最多2块
3. A的获利增加到 30元/kg，应否改变生产计划？

• 
• 分析可知X1的变化范围是（64，96），原来是24元每千克每桶获利72元，现在是30元/kg每桶获利90元。但是就是在（64，96）之间，所以不需要改变计划。

4. 35元可买到1桶牛奶, 每天最多买多少?
   

例2 奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工

问题引出：

对牛奶制品我们现有两种生产方式：

1. 生产A产品：一桶牛奶，加工12小时，可生产3kgA，获利24元/kg；如果对A奶制品再加工，每一千克需要花费2小时，三块钱可以加工成0.8kg产品C，并且获利44元/kg
2. 生产B产品：一桶牛奶，加工8小时，可生产4kgA，获利16元/kg；如果对B奶制品再加工，每一千克需要花费2小时，三块钱可以加工成0.75kg产品C，并且获利32元/kg

条件：共有50桶牛奶，480小时，由于生产水平不足最多只能加工100kgA。

要求： 制订生产计划，使每天获利最大

1. 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1h时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？
2. C，D的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？
3. 每天销售10kgA的合同必须满足，对利润有什么影响？

模型建立

设出售x1kgA, x2B, x3C , x4D，其中x5kgA加工成C，x6kgB加工成D
则：

• 获利：
• 约束条件：
  • 原料：
  • 时间：
    
  • 加工能力：
    
  • 附加约束：
    
  • 非负约束 ： $x1....x6\geq0$

LINGO程序

model:
max = 24*x1+16*x2+44*x3+32*x4-3*x5-3*x6;
[milk]   (x1+x5)/3+(x2+x6)/4<50;
[time] 4*(x1+x5)+2*(x2+x6)+2*x5+2*x6<480;
[cpct]   x1+x5<100;
x3=0.8*x5;
x4=0.75*x6;
end 

运行结果

结果分析

• 用于生产A的一共有x1+x5=24kg，所以生产A耗费了24/3=8桶牛奶。
• 用于生产B的共有x2+x6=168kg，所以消耗了168/4=42桶牛奶。
• x1的值为0，所以A产品一点没出售，生产后都接着用于生产C产品了，可以看到C产品是19.2kg（24*0.8=19.2）
• x2共168kg，x4是0，也就是B产品没有进行再加工生成D
• 利润3460.8（元）

问题解析

1. 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1h时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？
   • 看Dual Price，每增加一桶牛奶可以多赚37.9元，所以可买5桶，多赚189.5元
   • 每增加1小时，多赚3.26元，增加50小时可以多赚113元
   • 所以可以买成牛奶，比增加时间赚的多
2. C,D的获利有10%的波动，对计划有无影响
   • C获利下降10%也就是x3*0.1=4.4，超出X3 系数允许范围3.16666
   • D获利上升10%，也就是x4*0.1=3.2.超出X4 系数允许范围2.02667
   • 所以有影响
     
3. 每天销售10kgA的合同必须满足，对利润有什么影响？
   看到结果分析，Reduced Cost为差额成本，也就是每增加1单位x1会减少1.68元，现在固定要销售10kgA，所以利润减少16.8元

小结：

• 由于产品利润、加工时间等均为常数，可建立线性规划模型.
• 线性规划模型的三要素：决策变量、目标函数、约束条件.
• 建模时尽可能利用原始的数据信息，把尽量多的计算留给计算机去做（分析例2的建模）.
• 用LINGO求解，输出丰富，利用影子价格和灵敏性分析可对结果做进一步研究.