线性规划的对偶问题
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对偶问题
\(max\{c^Tx|Ax\le b\}=min\{b^Ty|A^Ty\ge c\}\)
引用这个博客里的例子：Blog
某工厂有两种原料A、B，而且能用其生产两种产品：
1、生产第一种产品需要2个A和4个B，能够获利6；
2、生产第二种产品需要3个A和2个B，能够获利4；
此时共有100个A和120个B，问该工厂最多获利多少？
用数学表达式描述如下：
已知：
\(2×X1+3×X2≤100\)
\(4×X1+2×X2≤120\)
求：
\(6×X1+4×X2\)的最大值
画出来是这样：
手动二分得，\(X1=X2=20\)时最大为\(200\)
工厂除了拿原料生产成产品卖掉这条出路外，还有一种方法是直接将原料卖掉。但是要求把原料卖掉赚的钱比生产成产品赚的钱多。那么最低可以接受多少的价格呢？假设资源A和B的单价分别为：Y1和Y2，那么可以用数学表达式描述如下：
已知：
\(2×Y1+4×Y2≥6\)
\(3×Y1+2×Y2≥4\)
求：
\(100×Y1+120×Y2\)的最小值
画出来是这样子
手动二分得最小值是\(200\)
再来看看这个式子
\(max\{c^Tx|Ax\le b\}=min\{b^Ty|A^Ty\ge c\}\)
PS：\(A^T\)表示矩阵的转秩，也就是沿对角线翻折。小写字母都是列向量。
\(c\)：每种成品的收益
\(x\)：每种成品生产多少个
\(A\)：生产每种成品所需要的原料数
\(b\)：每种原料的总个数
\(y\)：直接卖原料、每种原料的价格
大概能够理解了？
关于对偶问题的性质
- 对偶问题的对偶问题是原问题
- 两问题的最优解相等
- 两问题的可行解，显然对于上式左边要小于等于右式