线性规划问题之MATLAB实现

                                                                                           by WC  1.7.2016

1.Matlab规定线性规划的标准形式为：

几个不等式是问题的约束条件，记为 s.t.(即 subject to)。 MATLAB中求解线性规划的命令为：
[ x，fval ]=linprog（f，A，b）
[ x，fval ]=linprog（f，A，b，Aeq，beq）
[ x，fval ]=linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub）
其中：返回的x为决策向量的取值； 返回的fval是目标函数的最大值；f为价值向量；A和b对应的是线性不等式约束；Aeq和beq对应的是线性等式约束；lb和ub分别对应的是决策向量的下界向量和上界向量。

eg：

(1)化为Matlab标准型，即

$$\begin{array}{l} \min \;w = - 2{x_1} - 3{x_2} + 5{x_3}\\ s.t.\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&5&{ - 1}\\ 1&3&1 \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{array}} \right] \le \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 10}\\ {12} \end{array}} \right]\\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1 \end{array}} \right]\;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}} \end{array}} \right]^T} = 7 \end{array}$$
(2)求解的Matlab程序如下：

f=[-2,-3,5]'
A=[-2,5,-1;1,3,1];  b=[-10;12];
Aeq=[1,1,1];    beq=7;
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,zeros(3,1));
x
fval=-fval

这里的zeros(3,1)是为了产生3行1列的全0矩阵，对应着x1,x2,x3均大于等于0的约束条件。
得出结果如下如所示：

2.可以转化为线性规划的问题

$$\begin{array}{l} \min \;\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| + \cdot \cdot \cdot + \left| {{x_n}} \right|\\ s.t.\;\;\overrightarrow A \overrightarrow X \le \overrightarrow b \end{array}$$
(1)

可进一步把模型改写为：

eg：

做变量变换

并把新变量重新排列成一维向量

即可把模型变换为线性规划模型，其中：

(2)
计算的MATLAB程序如下所示：

c=[1:4];c=[c,c]';
a=[1,-1,-1,1;1,-1,1,-3;1,-1,-2,3]; a=[a,-a];
b=[-2;-1;1/2];
[y,fval]=linprog(c,a,b,[],[],zeros(8,1));
x=y(1:4)-y(5:8)

得出的结果如下图所示：