线性规划——对偶问题的对偶问题

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原对偶问题

$\max_y\;b^Ty\\s.t.\;A^Ty+s=c\\s\geq 0\tag{2}$
$A \in \R^{m\times n}, s \in \R^{n}, y \in \R^{m}$

等价问题：
$\min_y\;-b^Ty\\s.t.\;A^Ty+s=c\\s\geq 0\tag{2}$
对偶问题的推导参见博文《线性规划——对偶问题的推导》。

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引入拉格朗日函数： $L(x,y,s) = -b^Ty +x^T(A^Ty+s-c)$
$g(x) \triangleq \inf_{y,s}L(x,y,s) \\= \inf_{y,s} \{-c^Tx +(Ax-b)^Ty +x^Ts\} \\=-c^Tx +\inf_y(A^Tx-b)^Ty +\inf_sx^Ts$

分开来看，
$\inf_y(Ax-b)^Ty \\=\left\{ \begin{array}{lr} 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Ax-b=0& \\ -\infty, \;\;\;\;\;\;\;otherwise& \end{array} \right.$
$\inf_sx^Ts \\=\left\{ \begin{array}{lr} 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;z \geq0& \\ -\infty, \;\;\;\;\;\;\;otherwise& \end{array} \right.$
显然，最大化 $g(x)$ 只有在其有下界时有意义。因此得到约束条件： $Ax-b=0, z \geq0。$
原对偶问题的对偶问题为： $maximize \;\;-c^Tx \\s.t.\;\;Ax-b=0\\z \geq0$等价于 $minimize \;\;c^Tx \\s.t.\;\;Ax-b=0\\z \geq0$即为线性规划的标准形式。
得出结论： 线性规划的对偶问题的对偶问题是原问题。