线性最小二乘法

背景：

   记得在高中的时候，课本上有一个拟合直线的例子，当时并没有怎么放在心上，到了大学之后，在校比赛和工作学习需要用到，现在做一下记录，也算是温习以前学过的知识，帮助自己加深理解。

正文：

    最小二乘法在求解最优化问题时，经常是作为一种有效的数据分析方法，本文主要是阐述线性最小二乘法，我们首先引入一个最经典的例子——拟合直线。

    方便计算，给出三个点集合(1, 1)，B(2, 1)，C(3, 2)，很明显这三个点不在一条直线上，按照维基百科的定义是，每个残差项的平方和最小时，此时对应的参数即为最优化参数。

   假设直线的方程是： ，那么残差方程 ： ,

带入三个点数据化解 ， 哈哈，这就进入三维空间找最低点过程了，（有兴趣的可以在maltab做图看看），对其微分求导：, （如此表达是有原因的，后面矩阵运算揭晓！哈哈），即：,

为了验证答案是否正确，下图是使用 Microsoft Office Excel.exe拟合的图片，

可以看到上图，一毛一样！（从侧面也反映Excel也是通过最小二乘法拟合直线的）。

上面结束了以求导方式来解决做优化问题，在实际应用中，一般数据量都比较庞大，而且也不是拟合直线那么简单，那么矩阵方式就变得很重要了，而且编程也容易实现。

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首先表达线性方程组：  ，

简写成表达： AX = b，其中A= ，X = ，b = ,

     首先我们要明确一点，上面的这个线性方程组是没有解的，所以描述一个解不存在的方程组，实际应用的常出现这类不相容问题，尽管不会出现如此的系数矩阵，当方程组的解不存在但又要求解时，最好的方法是寻求X，是的AX尽可能接近b。

     考虑AX作为b的一个近似，从b到AX的距离越小，||b - AX||近似程度越好，一般的最小二乘问题就是找出使||b-AX||尽量小的X，术语“最小二乘”来源这样的事实，||b - AX||是平方和的平方根。

下面，是摘自《线性代数及其应用》原书第四版，（想打字的，想一想，太多了），该书以图形化方式解释最小二乘的一般矩阵表达式，容易理解，直接上图吧（每次干这种侵权坏事，心里总是胆战心惊）。

      图片最后一行公式中  就是最小二乘解，可以带入A和b，解出 = ​​​​​与微分求导一样的结果。

     这其中蕴涵的数学原理是非常奇妙的，已惊艳到了作者我。

     可以在麻省理工学院的线性代数视频课上观看最小二乘该节内容，加深理解！

     链接： http://open.163.com/movie/2010/11/P/U/M6V0BQC4M_M6V2AOJPU.html

     上面介绍的是线性最小二乘法，工程中也可能遇到非线性问题，一般用梯度下降法找到高维空间最优化解，网上有许多这方面的优化库，可以下载来参考使用。