机器学习--线性回归 最小二乘法

机器学习第1天
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开篇废话

话说在高中数学统计的部分就有学过最小二乘法，现在想想，当时没有严格的推倒和实用背景，单纯的给了公式然后做应用题，不过也印证了乔布斯的一句话，不管你现在在做什么，你都无法预料到这对你以后是否有影响，你只能看到过去，无法看到未来。

最小二乘法（Least squares）

为什么叫最小二乘法，首先最小明确的告诉你，俺们求出来的是全局的最值，不是极值，就是最小的一个位置，二乘（square）是平方的意思，Ok，也就是说最小二乘法的理论是找到最小的平方值，什么的最小平方值？慢慢看下面。
参考书《机器学习基础教程》中的例子，以历届奥运会男子100米的夺冠时间为数据：

No.	Year	time
1	1896	12.0
2	1900	11.0
3	1904	11.0
4	1908	10.8
5	1912	10.8
6	1920	10.8
7	1924	10.6
8	1928	10.8
9	1932	10.3
10	1936	10.3
11	1948	10.3
12	1952	10.4
13	1956	10.5
14	1960	10.2
15	1964	10.0
16	1968	9.95
17	1972	10.14
18	1976	10.06
19	1980	10.25
20	1984	9.99
21	1988	9.92
22	1992	9.96
23	1996	9.84
24	2000	9.87
25	2004	9.85
26	2008	9.69
27	2012	9.63

注释：中间有三年数据缺失，原因是第一和第二次世界大战（闲的没事回家搞科研造福人类多好，打毛的仗）。
使用matlab显示下数据：

生成上图代码：

data=[1896  12.0;1900   11.0;1904   11.0;1908   10.8;1912   10.8;1920   10.8;1924   10.6;1928   10.8;1932   10.3;1936   10.3;1948   10.3;1952   10.4;1956   10.5;1960   10.2;1964   10.0;1968   9.95;1972   10.14;1976  10.06;1980  10.25;1984  9.99;1988   9.92;1992   9.96;1996   9.84;2000   9.87;2004   9.85;2008   9.69;2012   9.63];
x=data(:,1);
t=data(:,2);
scatter(x,t,'k');

其中第三个参数可以由下表中查出：

很明显的下降趋势，不太明显的线性关系，不过我们还是用线性来拟合这组数据，看看会有什么效果。
设直线为：

$t=w_1x+w_0$
来解释下这个模型，我们的目的是让整条直线尽可能的和途中点数据相接近，而并不是要让一条直线穿过尽可能多的点，换句话说我们要追求一个全局的最优。
如何来衡量这个直线和各点之间的接近程度呢？这里给出一个平方损失函数，请注意，这并不是唯一的办法，不过是一种简单的方法，比如绝对值也能完成此类任务，但绝对值计算过于复杂，四次六次八次函数也能完成，很明显计算量也过大，所以我们的损失函数定义为：
$\ell_n=(t_n-f(x_n;w_0,w_1))^2$

其中：

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$f(x_n;w_0,w_1)=w_0+w_1x$

这样就给出了“二乘的部分”，求最小二乘的目的是得出全局最优解参数$w_1,w_0$

$\ell=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(t_n-f(x_n;w_0,w_1))^2 \\ =\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(t_n-w_0-w_1x)^2 \\ =\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(w_1^2x_n^2+2w_1x_n(w_0-t_n)+w_0^2-2w_0t_n+t_n^2)$

求最小值，一般的方法是求一阶导数，对于上式，我们认为自变量是$w_1,w_0$，$x_n,t_n$是参数（已知常数）,所以一阶导数要使用偏导数。
这样，求导前简化掉没用项：
当对$w_1$求导数时：

$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(w_1^2x_n^2+2w_1x_nw_0-2w_1x_nt_n)$

整理求导后得到：

$\frac{\partial\ell}{\partial w_1}=2w_1\frac{1}{N}(\sum_{n=1}^{N}x_n^2)+\frac{2}{N}(\sum_{n=1}^{N}x_n(w_0-t_n))$

同理对$w_0$求偏导：

$\frac{\partial\ell}{\partial w_0}=2w_0+2w_1\frac{1}{N}(\sum_{n=1}^{N}x_n)-\frac{2}{N}(\sum_{n=1}^{N}t_n)$

根据一阶导数为0时有可能为最值点（有可能是极值或者驻点，进一步判断需要求二阶偏导数得出，但对于平方形函数，一阶导数为零可以确定为最值）
这样就能求出：

$\hat{w_0}=\bar{t}-w_1\bar{x}$

$\hat{w_1}=\frac{\bar{xt}-\bar{x}\bar{t}}{\bar{x^2}-(\bar{x}^2)}$

用一下代码对最上面图进行最小二乘拟合得到：

Matlab Code:

data=[1896  12.0;1900   11.0;1904   11.0;1908   10.8;1912   10.8;1920   10.8;1924   10.6;1928   10.8;1932   10.3;1936   10.3;1948   10.3;1952   10.4;1956   10.5;1960   10.2;1964   10.0;1968   9.95;1972   10.14;1976  10.06;1980  10.25;1984  9.99;1988   9.92;1992   9.96;1996   9.84;2000   9.87;2004   9.85;2008   9.69;2012   9.63];

[m,n]=size(data);%m行，n列
x=data(:,1);
t=data(:,2);
scatter(x,t,'k');
xt=0;
x_=mean(x);
t_=mean(t);
x_2=0;
for i=1:m
    xt=xt+x(i)*t(i);
    x_2=x_2+x(i)^2;
end
xt_mean=xt/m;
x_2_mean=x_2/m;
w1=(xt_mean-x_*t_)/((x_2_mean)-x_^2);
w0=t_-w1*x_;


x=data(:,1);
t=data(:,2);
scatter(x,t,'k');
[m,n]=size(data);%m行，n列
xt=0;
x_=mean(x);
t_=mean(t);
x_2=0;
for i=1:m
    xt=xt+x(i)*t(i);
    x_2=x_2+x(i)^2;
end
xt_mean=xt/m;
x_2_mean=x_2/m;
w1=(xt_mean-x_*t_)/((x_2_mean)-x_^2);
w0=t_-w1*x_;
%%使用矩阵解决
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for i=1:m
    X(i,1)=1;
    X(i,2)=x(i);
end

w=(X'*X)^(-1)*X'*t;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
refline(w1,w0);%w1斜率，w0截距
refline(w1,w0);%w1斜率，w0截距

以上针对二维数据，对于超过二维的数据的线性回归我们使用矩阵来做等效处理。
对于超过二维的数据，损失函数定义如下：

$\ell=\frac{1}{N}(\vec t-X\vec w)^T(\vec t-X\vec w)$

此处推导过程，与上二维数据推导过程类似，但使用矩阵为工具，故省略：

$\hat {\vec w}=(X^TX)^{-1}X^T \vec t$

总结

至此，最小二乘法的基本过程已经介绍完了，基础算法可能数学推导过多，但对后面的高级算法理解还是很有用的。
待续。。。。