一、 最小二乘法的由来
1805年，法国数学家Legendre发表了最小二乘法的第一个清晰简洁的论述；
1809年，德国数学家高斯发表了《天体运动论》，并声称自1795年以来就使用了最小二乘法。导致了与Legendre的优先权争议。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明（高斯-马尔可夫定理）
二、参数估计——最小二乘法（正规方程）
1. 一元线性回归
对于一元线性回归模型 
，其中 ei 表示误差，可得 
假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：
（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。
最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小
数学公式表达：Q为残差平方和——
要使得Q最小，即求Q得极值。把
看做变量，然后对求偏导，可得：
然后对上述两个偏导进一步消元、计算可得：
这样我们就可以确定，得到回归模型。最后将数据代入带这个模型中，即可得到我们要的结果。
2. 多元线性回归
推广到更一般的情况，假如有更多的模型变量 x1,x2,⋯,xn，可以用线性函数表示如下：
对于m个样本来说，可以用如下线性方程组表示：
如果将样本矩阵xij记为矩阵A,将参数矩阵记为向量β，真实值记为向量Y，上述线性方程组可以表示为：
即 
对于最小二乘来说，最终的矩阵表达形式可以表示为：
（这里涉及到向量范式）
其中m≥n,由于考虑到了常数项，故属性值个数由n变为n+1
该方程的求解过程如下：
其中倒数第二行中的中间两项为标量，所以二者相等。然后利用该式对向量β求导：
（1）
令上式结果等于0可得：
（2）
注：（1）式是根据向量矩阵求导公式求导得到后面的式子
参考：https://blog.csdn.net/qll125596718/article/details/8248249