python实现线性回归之最小二乘法，最小二乘法详解

线性回归是确定两种及两种以上变量的相互依赖关系。在数据分析中，线性回归是最简单且最有效的分析方法。举个简单的例子，某商品的利润在售价为2元、5元、10元时分别为4元、10元、20元，我们很容易得出商品的利润与售价的关系符合直线： $y=2x$ .在上面这个简单的一元线性回归方程中，我们称“2”为回归系数，即斜率为其回归系数，回归系数表示商品的售价(x)每变动一个单位，其利润(y)与之对应的变动关系。

1.线性回归

如上图所示，上图为一个简单的一元线性回归示意图，线性回归表示这些离散的点总体上“最逼近”哪条直线。同理，在二元线性回归中，离散的点在空间中最逼近哪个平面。其它多元线性回归亦是如此。线性回归在数据量化分析，数据预测方面有着重要应用。

2.最小二乘法

同样是上图，那这些离散的点总体上“最逼近”哪条直线呢，这需要一个量化。对于同一x，实际数据为y，回归方程的推断数据为ax，则误差d=y-ax。最小二乘法定义为，当 $D=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-ax_{i})^2$ ，D最小时，回归方程的拟合度最高，根据 $min(D)$ 求出a即可，对最小二乘法的定义方程进行微分求极值即可得出a。

对于多元变量，设

$X=\begin{bmatrix} x_{11}&x_{12}&...&x_{1n}\\ x_{21}&x_{22}&...&x_{2n}\\ ...&...&...&...\\ x_{n1}&x_{n2}&...&x_{nn} \end{bmatrix}$ , $Y=\begin{bmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ ...\\ y_{n} \end{bmatrix}$ , $a=\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ ...\\ a_{n} \end{bmatrix}$

其回归方程为Y=Xa。同理，现在我们要求矩阵a的值，使得

$S=\sum _{i=1}^{n}[y_{i}-\sum_{j=1}^{n}(a_{i}x_{ij})]^2$

取最小值即可。对上式进行微分求解(具体求解步骤可参考线性代数相关知识)，可得

$X^{T}Xa=X^{T}Y$

如果该矩阵满秩，则

$a=(X^{T}X)^{-1}X^{T}Y$

上述便为最小二乘法的基本思想。

3.python实现

一元线性回归测试：

from numpy.linalg import inv  # 矩阵求逆
from numpy import dot  # 矩阵点乘
from numpy import mat  # 二维矩阵

X = mat([1, 2, 3]).reshape(3, 1)  # x为1,2,3
Y = mat([5, 10, 15]).reshape(3, 1)  # y为5,10,15
a = dot(dot(inv(dot(X.T, X)), X.T), Y)  # 最小二乘法公式
print(a)

首先，这里推荐一个公式的代码实现技巧，代码从内向外写，即X的转置与X点乘，再求逆，再与X的转置点乘，再与Y点乘，一层层加括号即可。

由上述代码不难看出，y与x的关系为y=5x，下面我们看测试结果是否为5：

测试结果正确。

实战：

这里准备了一组数据，数据示例截图如下：

上述数据为某一商品的销售量与售价、服务投资和其它投资的对应关系，即我们要求出：

$X=\begin{bmatrix} 3.5 & 1.4 & 0.2 \\ 3.0 & 1.4 & 0.2 \\ 3.2 & 1.3 & 0.2\\ ... & ... & ... \end{bmatrix}$ ， $Y=\begin{bmatrix} 5.1\\ 4.9\\ 4.7\\ ... \end{bmatrix}$ , $a=\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\\ ... \end{bmatrix}$

$Y=Xa$ 中，矩阵a。

代码如下：

import numpy as np
import pandas as pd
from numpy.linalg import inv  # 矩阵求逆
from numpy import dot  # 矩阵点乘


dataset = pd.read_csv('C:\\Users\\57105\\Desktop\\data.csv')  # 读入数据
X = dataset.iloc[:, 2: 5]  # x为所有行，2到4列
Y = dataset.iloc[:, 1]  # y为所有行，第1列
a = dot(dot(inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)  # 最小二乘法求解公式
print(a)

测试结果：

即 $a=\begin{bmatrix} 1.157\\ 0.782\\ -0.591 \end{bmatrix}$ ，对于单条数据，即 $y=1.157x_{1}+0.782x_{2}-0.591x_{3}$ ，该回归方程反应了商品销售量与售价、服务投资和其它投资的关系。

上述便为线性回归的最小二乘法求解方式，关于线性回归的另一种求解方式—梯度下降法可见笔者相关文章。