数论整理之欧几里得算法gcd

辗转相除法
使用到的原理很聪明也很简单，假设用f（x, y）表示x，y的最大公约数，取k = x/y，b = x%y，则x = ky + b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f（x, y）= f（y, x % y）（y > 0），如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。gcd递归定理是指gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

//直接调用
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a,b;

int main()
{
  cin>>a>>b;
  cout<<__gcd(a,b)<<endl;
  return 0;
}
//
int gcd(int a,int b){
	if (b == 0) return a;
	else return gcd(b,a % b);
 }

高精度gcd
(更相减损术)
不妨设a<=b，则有：
1.a=b时， gcd（a，b）=a；
2.a，b均为偶数时，gcd（a，b）=2*gcd（a/2，b/2）；
3.a为偶，b为奇时，gcd（a，b）=gcd（a/2，b）；
4.a为奇，b为偶时，gcd（a，b）=gcd（a，b/2）；
5.a,b均为奇数时，gcd（a，b）=gcd（a-b，b）；

//输入两个数（分两行）输出最大公约数
#include<bits/stdc++.h>
#define str strlen 
#define ll long long 
using namespace std;
struct huge{
    int num[10010];
    int len;
};
huge a,b;
char d[10010];char c[10010];
void print(huge x){
    for(int i=x.len-1;i>=0;i--) cout<<x.num[i];
//	cout<<endl;
}
int smp (huge x,huge y){
    if(x.len>y.len)   return 1;
    if(x.len<y.len)   return 2;
    for(int i=x.len-1;i>=0;i--){
        if(x.num[i]>y.num[i]) return 1;
        if(x.num[i]<y.num[i]) return 2;
    }
    return 3;
}
huge ch(huge x){
    int plus=0;
    for(int i=0;i<=x.len-1;i++){
    	x.num[i]*=2;
    	x.num[i]+=plus;plus=0;
    	if(x.num[i]>=10){
    		plus=x.num[i]/10;
            x.num[i]%=10;
        }
    }
    if(plus!=0){
        x.len++;
        x.num[x.len-1]=plus;
    } 
    return x;
}
huge chu(huge x){
    for(int i=x.len-1;i>=0;i--){
        if(x.num[i]%2==1){
            x.num[i]--;
            x.num[i-1]+=10;
        }
        x.num[i]/=2;
    }
    while(x.num[x.len-1]==0&&x.len>1) x.len--;
    return x;
}
huge minu(huge x,huge y){
    for(int i=0;i<x.len;i++){
        if(x.num[i]<y.num[i]){
            x.num[i]+=10;
            x.num[i+1]--;
        }
        x.num[i]-=y.num[i];
    }	
    while(x.num[x.len-1]==0&&x.len>1) x.len--;
    return x;
}
void gcd(huge x,huge y){
    int xx=smp(x,y),aa=1-x.num[0]%2,bb=1-y.num[0]%2;
    int tt=0;
    while(xx<3){//print(x);print(y);
        if(xx==2){
            swap(x,y);
            swap(aa,bb);
        }
        if(aa==1&&bb==1){
            x=chu(x);y=chu(y);
            tt++;
        }
        if(aa==1&&bb==0)  x=chu(x);				
        if(aa==0&&bb==1)  y=chu(y);
        if(aa==0&&bb==0)  x=minu(x,y);  
    	xx=smp(x,y);aa=1-x.num[0]%2;bb=1-y.num[0]%2;
    }
    for(int i=1;i<=tt;i++)  x=ch(x);
    print(x);
    return;
}
int main(){
    scanf("%s",&c);
    scanf("%s",&d);
    if(str(c)<str(d)||(str(c)==str(d)&&strcmp(d,c)>0)) swap(c,d);
    a.len=str(c);b.len=str(d);
    for(int i=0;i<a.len;i++)
        a.num[i]=(int)(c[a.len-i-1]-'0');
    for(int i=0;i<b.len;i++)
        b.num[i]=(int)(d[b.len-i-1]-'0');
    gcd(a,b);
    return 0;
}

//循环
ll gcd(ll a,ll b)
{
    ll t;
    while(b)///当b为0时,得出结果,a既为结果
    {
        t=b;///存b
        b=(a%b);///b为a对b取模
        a=t;///a为上一次的b
    }
    return a;
}

贝祖定理：其内容是若设a,b是整数，则存在整数x,y，使得ax+by=gcd（a,b），(a,b)代表最大公因数，则设a,b是不全为零的整数，则存在整数x,y，使得ax+by=(a，b)。
| 介是什么符号：
若b可被a整除，或a整除b，则可记作a|b
如2|6，8|16
性质：①a|b,b|c => a|c
②a|b,a|c => a|(b+c)=>a|(mb+nc) (m,n∈Z)
③a|b(a≠0) =>|a|≤|b|