【数论】拓展欧几里得算法

写在前面

　　这篇博客是我在【数论】对算术基本定理的研究中的一部分

拓展欧几里得算法

　　现在已经有了a-b == GCD(a，b) * (n₁-n₂)，那就可以再来个直接点的

　　GCD(a，b) + (p*n₁+q*n₂) == GCD(a，b)

此处放到MOD群里面可以变形为求逆元素

　　即p*a+q*b == GCD(a，b)

　　想要求出一组p，q∈Z，满足上式

　　首先套用欧几里得算法的逻辑：

　　　　结合算术基本定理，有

　　　　　　GCD(a，b) == P₁^{^min(^a1,b1)}P₂^{^min(^a2,b2)}......P_n^{^min(^an,bn)}

　　　　　　a MOD b == P₁^{^a1-b1}P₂^{^a2-b2}......P_n^{^an-bn}(执行的条件为a_i>=b_i)

　　　　则能得到GCD(a，b) == GCD(b，a MOD b)

　　　　那么就有p*a+q*b == GCD(a，b) == GCD(b，a MOD b)

　　　　这样就可以写一个递归函数，一层一层MOD下去

　　　　这样化简，直到a_i MOD b_i == 0

　　　　即p*GCD(a，b) == GCD(a，b)，那么在最后一层里面p==1

所以在拓展欧几里得里面，bⁱ==0这一层中，aⁱ即为GCD(a，b)

　　(到此为止和欧几里得算法一模一样，我甚至是复制的欧几里得算法)

　　而如果想要求出p和q，那么有一个回溯的过程就好了

　　如何回溯得到p和q呢？

　　来找一下相邻的层数间p_i和p_i+1，q_i和q_i+1的关系

　　因为有p*a+q*b == GCD(a，b)

　　则在每一层中：

　　　　GCD(a，b)

　　　　　　== p_i*a+q_i*b

　　　　　　== p_i+1*b + q_i+1*(a MOD b)

　　　　　　== p_i+1*b + q_i+1*(a - (a/b)*b)

　　　　　　== p_i+1*b + q_i+1*a - q_i+1*(a/b)*b

　　　　　　== q_i+1*a + p_i+1*b - q_i+1*(a/b)*b

　　　　　　== q_i+1*a + (p_i+1 - q_i+1*(a/b))*b

　　即每层中p_i == q_i+1，q_i == p_i+1 - q_i+1*(a/b)

　　然后就可以回溯了！

　　然后就能写出不返回gcd，单纯求出一组p，q的拓展欧几里得了！

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define OUT(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 int x,y;
 7 
 8 void exgcd(int a,int b)
 9 {
10     if(!b){x=1;y=0;}
11     else{
12         exgcd(b,a%b);
13         int tmp=x;
14         x=y;y=tmp-(a/b)*y;
15     }
16 }
17 
18 int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
19 {
20     exgcd(12,17);
21     OUT(x);OUT(y);
22     return 0;
23 }

　　上面这个版本是我写的，比较诡异，来个常见的版本

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define OUT(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 int x,y;
 7 
 8 int exgcd(int a,int b)
 9 {
10     if(!b){
11         x=1;y=0;
12         return a;
13     }
14     int ret=exgcd(b,a%b);
15     int tmp=x;
16     x=y;y=tmp-(a/b)*y;
17     return ret;
18 }
19 
20 int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
21 {
22     OUT(exgcd(12,17));
23     OUT(x);OUT(y);
24     return 0;
25 }

　　仔细感受一下其中的差别啦~

【数论】拓展欧几里得算法

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