数论学习二之——扩展欧几里得算法

在我们学习扩展欧几里得算法（下面简称扩欧）之前呢，我们先了解一下什么是欧几里得算法，当然很多人之前应该都接触过,但是还是讲一下吧，所谓欧几里得算法，就是 $gcd$（也叫辗转相除法），当我们求两个数的最大公约数的时候， $gcd$毫无疑问是最优的算法。

下面给出欧几里得的算法公式以及相应的代码：

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

那我们现在开始正式讲扩欧，我们给出一个线性组合 $ax+by = c$当我们需要去求解这个表达式的 $x，y$的值是，就要用到扩欧了。
下面给点定理：
$Bezout$定理：如果 $a$和 $b$都是整数，则有整数 $x$和 $y$使得 $ax+by=gcd(a,b)$。
我们可以得出一个推论：整数 $a$和 $b$互素当且仅当存在整数 $x$和 $y$使得 $ax+by=1$

对于不定方程 $ax+by=c$，如果 $c$不是 $gdc(a,b)$的倍数，则不定方程无解，否则用扩欧的算法进行求解。

下面我们给出扩展欧几里得算法的模板：

int ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int d = ex_gcd(b, a % b, x, y);
    int t;
    t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return d;
}

各大OJ网站上的用到扩欧算法的试题：
$POJ$ 2141, 2773
$ZOJ$ 3593