欧几里得算法（gcd）与扩展欧几里德算法

• 以下 $\frac{a}{b}代表的均是下取整之后的结果$

欧几里得算法（gcd）

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。也叫辗转相除法（取自百度）
代码为

int gcd(int a, int b)
{
	return b ?  gcd(b, a % b) : a;
}

只需要证明 $gcd(a, b) == gcd(b, a \% b)$ 即可
假设a与b的最大公约数为c，由于 $a\%b=a - \frac{a}{b} * b$
明显最大公约数一样

扩展欧几里得算法

一般用于求方程 $ax+by=gcd(a,b)$的解
又由欧几里得算法知 $gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
则方程可以写成 $bx_1+(a\%b)y_1=gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)$
把上式左边展开合并同类项有 $ay_1+b(x_1-\frac{a}{b}*y_1)=gcd(a,b)$
因此我们可以通过递归来求解，求出下一层解之后，只需要通过 $x=y_1,y = x_1-\frac{a}{b}*y_1$来替换即可
而当b递归到零时， $ax+by=a$,明显 $x=1,y=0$即为次方程的解，而将这个一步一步递归到最顶层时，即可求出方程 $ax+by=gcd(a,b)$的解
代码为

int x, y;
int exgcd(int a, int b)
{
	if(!b)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b);
	int t = x;
	x = y;
	y = x - a / b * y;
	return d;
}