【数论】欧几里得算法

写在前面

　　这篇博客是我在【数论】对 算术基本定理 的研究 中的一部分

• 欧几里得算法

　　欧几里得算法即辗转相除法

　　原理和更项减损术一样的

 

　　结合算术基本定理，有

　　　　GCD(a，b) == P₁^min(a1,b1)P₂^min(a2,b2)......P_n^min(an,bn)

　　　　a MOD b == P₁^a1-b1P₂^a2-b2......P_n^an-bn(执行的条件为a_i>=b_i)

　　则能得到GCD(a，b) == GCD(b，a MOD b)

写成GCD(b，a MOD b)而不是GCD(a MOD b，b)，就保证了前一个数必然大于后一个数

　　这样就可以写一个递归函数，一层一层MOD下去

　　这样化简，直到a_i MOD b_i == 0

　　这一项是下一层中的b_i，而下一层里面的a_i为GCD(a，b)

C++：

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     if(!b) return a;
4     else return gcd(b,a%b);
5 }

　　再简洁一点就是

C++：

1 int gcd(int a,int b){return !b? a:gcd(b,a%b);}

　　非递归形式就是

C++：

 1 int gcd(int a, int b)
 2 {
 3     while(b != 0)
 4     {
 5     　　int r = b;
 6     　　b = a % b; 7 　　a = r; 8  } 9 return a; 10 }