写在前面
这篇博客是我在【数论】对 算术基本定理 的研究 中的一部分
- 拓展欧几里得算法的多解
| 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q，使它们满足贝祖等式： pa+qb = gcd(a, b) =d ——bia度百科 |
求解得到的是一组p，q，是任意的一组p，q吗？
p，q肯定不止一对，那么如何获得多对p，q呢？
是否为任意的一组解先存疑
但能肯定的是，得到的不一定是最小整数解
想要求得多解也很容易：
∵p*a + q*b == gcd(a, b)
∴p*a + q*b + n*a*b - n*a*b == gcd(a, b)
∴(p + n*b)*a + (q - n*a)*b == gcd(a, b)
即任意一组解满足：
(p+n*b)，(q-n*a)
显然，对于任意的n∈Z都成立
利用这个性质就能求出所有解了！
此处p，q为利用拓展欧几里得算法得到的一组p，q
那么如何求得p或q的最小整数解呢？
其实同理，p%b，q%a就好了
但是p或q有可能为负数啊？
((p%b)+b)%b，((q%a)+a)%a
注意此处的p，q不是一组解！
这样就能保证是正整数了！