【洛谷】提高历练地 - 数论

P2152 [SDOI2009]SuperGCD（大数gcd）

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2152

• 思路： 求两个高精度数的最大公约数，直接用 Java 的大数类即可，或者直接调用 Python 的一个库 fractions Fraction 类的 gcd ，也可以用 Python 的辗转相除法或者更相减损法。

Code1（Java）：

import java.util.*;
import java.math.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args){
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        BigInteger a = cin.nextBigInteger();
        BigInteger b = cin.nextBigInteger();
        System.out.println(a.gcd(b));
    }
}

Code2（Python）：

import fractions
print(fractions.gcd(int(input()),int(input())))

Code3（Python）：

//更相减损法
def gcd(a,b):
    while(a!=b):
        if(a>b):
            a-=b
        else:
            b-=a
    return a
print(gcd(int(input()),int(input())))

Code4（Python）：

//辗转相除法
def gcd(a,b):
    while(a!=0):
        b%=a
        t=a
        a=b
        b=t
    return b
print(gcd(int(input()),int(input())))

P1414 又是毕业季II（最大因子）

原题链接：hhttps://www.luogu.com.cn/problem/P1414

• 思路： 每个数的每个因子只能出现一次，所以先把每个数的因子求出来，将因子出现的次数存入数组，然后求 i 个数最大的因子其实就是求出现次数为 i 的最大因子。

Code（C++）：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=0x3f3f3f3f;
const int pi=acos(-1.0);
const int mod=10007;
int a[1001000];
inline int read(){
    char c=getchar();    int num=0;
    for(;!isdigit(c);c=getchar());
    for(;isdigit(c);c=getchar())
        num=num*10+c-'0';
    return num;
}
ll q_pow(ll a, ll b, ll Mod){
    ll ans=1,base=a;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*base%Mod;
        base=base*base%Mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll gcd(ll a, ll b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(){
    int n=read(),maxn=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;  x=read();
        maxn=max(maxn,x);
        for(int j=1;j*j<=x;j++){
            if(x%j==0){
                a[j]++;
                if(x!=j*j)  a[x/j]++;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(a[maxn]<i)    maxn--;
        cout<<maxn<<endl;
    }
    return 0;
}

P1134 阶乘问题（模运算）

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1134

• 思路：

1. 因为 2 * 5 = 10，所以把相同数量的 2 和 5 因子删掉。可想而知，2 的数量比 5 多，所以只需要求出 2^(2的个数-5的个数)*其他数%10 ，要注意的就是每一步操作都保留一位尾数即可。
2. 也可以直接暴力求，每一次的结果对 100000000 取模。

Code1（C++）：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=0x3f3f3f3f;
const int pi=acos(-1.0);
inline int read(){
    char c=getchar();    int num=0;
    for(;!isdigit(c);c=getchar());
    for(;isdigit(c);c=getchar())
        num=num*10+c-'0';
    return num;
}
int m=0;
int f(int x){
    int y=x;
    while(y%2==0){
        m++;
        y/=2;
    }
    while(y%5==0){
        m--;
        y/=5;
    }
    return y;
}
int main(){
    int n=read(),ans=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        ans=(ans*f(i))%10;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        ans=(ans*2)%10;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

Code2（C++）：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=0x3f3f3f3f;
const int pi=acos(-1.0);
inline int read(){
    char c=getchar();    int num=0;
    for(;!isdigit(c);c=getchar());
    for(;isdigit(c);c=getchar())
        num=num*10+c-'0';
    return num;
}
int main(){
    ll n=read(),ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans*=i;
        while(ans%10==0)
            ans/=10;
        ans%=100000000;
    }
    cout<<ans%10<<endl;
    return 0;
}

P1313 计算系数（杨辉三角 + 快速幂）

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1313

• 思路： 根据二项式定理，当 a = 1，b = 1时，每一项的系数构成了杨辉三角形，然后杨辉三角第k+1行、第k-n+1列就是答案。当 a，b 不一定等于 1 时，其结果就是 杨辉三角的值再乘 (a^n) 再乘 (b^m) 。

Code（C++）：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=0x3f3f3f3f;
const int pi=acos(-1.0);
const int mod=10007;
ll a,b,k,n,m,f[1010][1010];
inline int read(){
    char c=getchar();    int num=0;
    for(;!isdigit(c);c=getchar());
    for(;isdigit(c);c=getchar())
        num=num*10+c-'0';
    return num;
}
void yanghui(){
    f[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=k+1;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j]%mod+f[i-1][j-1]%mod)%mod;
}
ll q_pow(ll a, ll b, ll Mod){
    ll ans=1,base=a;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*base%Mod;
        base=base*base%Mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    cin>>a>>b>>k>>n>>m;
    yanghui();
    cout<<(((f[k+1][k+1-n]%mod)*q_pow(a,n,mod))%mod)*q_pow(b,m,mod)%mod<<endl;
    return 0;
}