题意
对于任何正整数
,其约数的个数记作
。例如
。
如果某个正整数
满足
,则称x为反质数。例如,整数
等都是反质数。
现在给定一个数
,求出不超过
的最大反质数。
思路
部分借鉴某蓝书
引理
求不超过
的最大反质数,就是求
的约数个数最多的数中最小的数。
证明
设
为
中约数个数最多的数中最小的数,根据定义,显然满足:
1. 对于任意一个数
,有
。
2. 对于任意一个数
,有
根据反质数的定义,第一条说明了
是反质数,第二条说明了大于
的都不是反质数,故
为所求。
引理
中任何数的不同质因子都不会超过10个,且所有质因子的指数总和不超过30。
证明
因为最小的
个质因子乘起来已经超过数据范围了,所以不可能有超过
个不同的质因子。
最小的质因子
的31次方超过数据范围了,所以指数总和不可能超过
。
引理
的质因子是连续的若干个最小的质数,并且指数单调递减。
证明
反证法。由引理
,若
的质因数分解中存在一项
,则必定有一个不超过
的质因子
不能整除
,根据算数基本定理的推论,
的约数个数和
的约数个数相同,但前者更小,这与反质数的定义矛盾。故
只包含
以内的质因子。
同理,如果
的质因子不是连续若干个最小的或者指数不单调递增的,我们也可以通过上述方法来找到一个比
更小、但约数个数相同的数。
综上所述,我们可以利用 来确定前 个质数的指数,在 个条件的限制下我们的搜索量其实很小,然后在根据引理 来更新答案就好了。
代码
#include<cstdio>
const int prime[11] = {0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
long long n, ans1, ans2;
long long ksm(long long a, long long b) {
long long result = 1;
for (; b; b >>= 1) {
if (b & 1) result *= a;
a *= a;
}
return result;
}
void dfs(long long dep, long long index, long long tot, long long div) {
//当前点, 上一个数的指数, 和, 约数个数
if (tot > n || dep > 10) return;//答案不超过n,质因子不超过10个
if (div > ans2 || (div == ans2 && tot < ans1)) {//引理1
ans1 = tot;
ans2 = div;
}
long long v=0, t;
while ((t = ksm(prime[dep + 1], v)) <= n && v <= index) {//引理3
dfs(dep + 1, v, tot * t, div * (v + 1));
v++;
}
}
int main() {
scanf("%lld", &n);
dfs(0, 30, 1, 1);
printf("%lld", ans1);
}