线性代数基础——向量

向量

• 基础属性

  向量的基础属性为方向与长度；
  向量 $\vec{a}$ 的长度写为 $\Vert \vec{a}\Vert$；
  单位向量 $\hat{a}=\frac{\vec{a}}{\Vert \vec{a}\Vert }$ 用来表示方向。

• 向量的代数写法

  在图形学中，向量一般会写出矩阵的形式
  $$\vec{A}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$
  $${\vec{A}}^T=\left(\begin{array}{c}x,y\end{array}\right)$$
  向量的长度为：
  $$\Vert \vec{A}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$$

• 向量的计算

• 点乘

  点乘的定义为两个向量的长度的乘积再乘以这两个向量夹角的余弦，最终结果是一个数（标量）。
  $$\vec{a}\cdot \vec{b}=\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert \cos \theta$$
  由此，可计算两个向量夹角的余弦值
  $$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert }$$
  在代数中，向量的点乘可以写成如下形式：
  $$\vec{a}\cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b$$
  点乘在图形学中，主要是用来计算两个向量的夹角的大小，另外，还可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影的大小。
  比如：计算向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影，首先，投影的方向肯定与向量 $\vec{a}$ 的方向相同或者相反，投影的长度为 ${\vec{b}}_{\perp }=k\hat{a}$,其中 $\hat{a}$ 为单位向量，$k=\Vert {\vec{b}}_{\perp }\Vert =\Vert \vec{b}\Vert \cos \theta$ 。
  投影的用处就是，可以将一个向量分解成若干给向量的和，例如：
  $\vec{u}$，$\vec{v}$，$\vec{w}$ 分别是互相垂直的单位向量，$\vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}$（右手坐标系），那么向量 $\vec{p}$ 可以写成如下的式子：
  $$\vec{p}=(\vec{p}\cdot \vec{u})\vec{u}+(\vec{p}\cdot \vec{v})\vec{v}+(\vec{p}\cdot \vec{w})\vec{w}$$
  点乘还可以计算两个向量是否接近，同时还能计算前后关系，通过点乘，将向量与面朝的负方向做点乘，如果值大于0，那么这个向量就是面向我们的，如果值小于0，那么这个向量就是背朝我们的。可以使用这点来判断模型的正反面。

• 叉乘

  叉乘的结果是一个向量，这个向量的方向与输入的两个向量的方向都垂直，通过右手螺旋定则来决定方向。比如说 $\vec{a}\times \vec{b}$ 的方向，将右手握拳，大拇指竖起来，四指从 $\vec{a}$ 旋转到 $\vec{b}$ ，大拇指所指的方向，就是叉乘结果的方向。结果向量的大小如下式：
  $$\Vert \vec{a}\times \vec{b}\Vert =\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert \sin \theta$$
  通过方向的决定方法可以得出：$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$。
  向量自身与自身的叉乘等于 $\vec{0}$ ，注意不是0，结果是一个向量。
  在代数中，向量的叉乘表达式为：
  $$\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{y}_a{z}_b-y_b{z}_a\\ z_a{x}_b-x_a{z}_b\\ x_a{y}_b-y_a{x}_b\end{array}\right)$$
  后续的学习中，会写成如下形式：
  $$\vec{a}\times \vec{b}={\vec{A}}^{\ast }\vec{b}=\left(\begin{array}{ccc}0& -z_a& y_a\\ z_a& 0& -x_a\\ -y_a& x_a& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)$$
  这里的${\vec{A}}^{\ast }$是一个矩阵，不是$\vec{A}\ast \vec{b}$。
  叉乘在图形学的作用是可以用来判断向量的左右和内外。