矩阵初步（线性代数在信息学中的体现）

什么是矩阵：

矩阵(Matrix)
在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

就是长这个样子：

$\begin{gathered} \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \quad \begin{Bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{Bmatrix} \quad \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \quad \begin{Vmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{Vmatrix} \end{gathered}$

线性代数中的矩阵，紧邻着行列式，所以在矩阵第一课上，大多数人都会了解到下面这段话

矩阵和行列式的区别
① 行列式是一个数，矩阵是一个数表
② 行列式是nn，矩阵式nm
③ 行列式加减式数的运算，矩阵加减只能是同型矩阵对应元素的加减
④ λ|A|是把行列式的某行（列）乘以λ，λA是把矩阵里的每一个数都乘以λ
⑤ 矩阵如果是方阵的话，即n=m，该矩阵有行列式值|A|

到此为止，我们算是对矩阵有了一个初步认知了

矩阵的三则基本运算

矩阵加法&减法

只有同型矩阵才能向加减‘

对应位置相加减

$\begin{gathered} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & -3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \end{gathered}$

矩阵与数的乘法

矩阵中的每个数都需要进行乘法操作

$\begin{gathered} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ -1 & 1 &2 &1 \end{pmatrix} *2= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 & 6 \\ 4 & 2 & 2 & 8 \\ -2 & 2 &4 &2 \end{pmatrix} \end{gathered}$

矩阵乘法

$A_{n*p}*B_{p*m}=C_{n*m}$
$a_{ij}=A_{i1}*B_{1j}+ A_{i2}*B_{2j}+A_{i3}*B_{3j}+...+A_{ip}*B_{pj}$

$\begin{gathered} A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\2&1&5 \end{pmatrix} ,B=\begin{pmatrix}1&2 \\3&3 \\5&2 \end{pmatrix} \end{gathered}$
$\begin{gathered} AB= \begin{pmatrix} 1*1+3*3-1*5 & 1*2+3*3-1*2\\2*1+1*3+5*5&2*2+1*3+5*2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5&9\\30&17\end{pmatrix} \end{gathered}$
$\begin{gathered} BA= \begin{pmatrix} 1*1+2*2 & 1*3+2*1&-1*1+2*5\\3*1+3*2&3*3+3*1&-1*3+3*5 \\ 5*1+2*2&5*3+2*1&-1*5+2*5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5&5&9\\9&12&12\\9&17&5\end{pmatrix} \end{gathered}$

转置矩阵，伴随矩阵，单位矩阵，逆矩阵

转置矩阵（行变列）
$\begin{gathered} A= \begin{pmatrix} 1&2&3 \\4 &5&6\end{pmatrix}, A ^ \mathrm{ T } =\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix} \end{gathered}$

性质：
$\begin{gathered} (A^\mathrm{T})^\mathrm{T}=A \quad (A+B)^\mathrm{T}=A^\mathrm{T}+B^\mathrm{T} \quad (AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T}A^\mathrm{T} \quad (λA)^\mathrm{T}=λA^\mathrm{T} \end{gathered}$

伴随矩阵

$A^{*}= \begin{gathered} \begin{pmatrix} A_{11}&A_{21} &...&A_{n1}\\A_{12}&A_{22} &...&A_{n2}\\...&...&...&...\\A_{1n}&A_{2n} &...&A_{nn} \end{pmatrix} \end{gathered}$

性质：
$(AB)^*=B^*A^* \quad |A^*|=|A|^{n-1} \quad (λA)^*=λ^{n-1}A^*$

单位矩阵

$\begin{gathered} E= \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix} \end{gathered}$

性质：

$EA=AE=A \quad |E|=1 \quad E^2=E$

逆矩阵

$AB=BA=E$ ，则B为A的逆矩阵，记 $B=A^{-1}$ ，即 $AB=AA^{-1}=E$
公式： $A^{-1}={A^* \over |A|}$
A是可逆的充要条件是 $|A|<>0$
性质：
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \quad (A^{-1})^{-1}=A \quad (A^\mathrm{T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm{T}} \quad (λA)^{-1}={1 \over λ}A^{-1}$

方阵的行列式计算

定义：由n阶方阵A的元素构成的行列式，称为方阵A的行列式

$|A^\mathrm{T}|=|A| \quad |λA|=λ^n|A| \quad |AB|=|BA|=|A||B| \quad |A^{-1}|={1 \over |A|}$

矩阵的初等行变换

以下三种变换，称为矩阵的初等行变换

换行：交换矩阵的两行
倍乘：以常数k（k<>0）乘以矩阵的某一行各元素
倍加：矩阵的某一行各元素乘以常数k（k<>0）后加到另一行的对应元素上

$\begin{gathered} A= \begin{pmatrix} 2&3&3&1\\1&2&2&0\\3&-3&-3&9\\4&3&5&1 \end{pmatrix} ->r_1<->r_2-> \begin{pmatrix} 1&2&2&0\\2&3&3&1\\3&-3&-3&9\\4&3&5&1 \end{pmatrix} ->{1 \over 3}r_3-> \begin{pmatrix} 1&2&2&0\\2&3&3&1\\1&-1&-1&3\\4&3&5&1 \end{pmatrix} \end{gathered}$
$->r_3-r_1,r_2-2r_1,r_4-4r_1-> \begin{gathered} \begin{pmatrix} 1&2&2&0\\0&-1&-1&1\\0&-3&-3&3\\0&-5&-3&1 \end{pmatrix} ->r_3-3r_2,r_4-5r_2-> \begin{pmatrix} 1&2&2&0\\0&-1&-1&1\\0&0&0&0\\0&0&2&-4 \end{pmatrix} ->r_3<->r_4-> \begin{pmatrix} 1&2&2&0\\0&-1&-1&1\\0&0&2&-4\\0&0&0&0 \end{pmatrix} ->{1 \over 2}r_3-> \begin{pmatrix} 1&2&2&0\\0&-1&-1&1\\0&0&1&-2\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{gathered}$

注意，我们在计算的最后得到了一个**“阶梯型矩阵”**

阶梯型矩阵
①如果有零行，零行在最下面
②每个阶梯首项即为主元，主元依次往右
③阶梯型不是唯一的

我们在得到阶梯型矩阵后，还可以进一步化简：

$\begin{gathered} A= \begin{pmatrix} 1&2&2&0\\0&-1&-1&1\\0&0&1&-2\\0&0&0&0 \end{pmatrix} ->-r_2-> \begin{pmatrix} 1&2&2&0\\0&1&1&-1\\0&0&1&-2\\0&0&0&0 \end{pmatrix} ->r_1-2r_2-> \begin{pmatrix} 1&0&0&2\\0&1&1&-1\\0&0&1&-2\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{gathered}$
$->r_2-r_3-> \begin{pmatrix} 1&0&0&2\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\0&0&0&0 \end{pmatrix}$

这里我们得到了 “最简型矩阵”

最简型矩阵
①主元全为1
②主元所在的列其他元素均为零
③最简型是唯一的

化成最简型可以干什么？
1.求逆矩阵
2.求矩阵的秩
3.向量无关组
4.特征向量
5.解方程组
6.对角化
7.二次型

Ex1.
$A= \begin{pmatrix} 1&0&-1\\-2&3&0\\0&1&2 \end{pmatrix} ,求A^{-1}$

解：
$\begin{gathered} (A|E)= \begin{pmatrix} 1&0&-1&|&1&0&0\\-2&3&0&|&0&1&0\\0&1&2&|&0&0&1 \end{pmatrix} \end{gathered}$
$->r_2+2r_1-> \begin{pmatrix} 1&0&-1&|&1&0&0\\0&3&-2&|&2&1&0\\0&1&2&|&0&0&1 \end{pmatrix}$
$->r_2<->r_3-> \begin{pmatrix} 1&0&-1&|&1&0&0\\0&1&2&|&0&0&1\\0&3&-2&|&2&1&0 \end{pmatrix}$
$->r_3-3r_2-> \begin{pmatrix} 1&0&-1&|&1&0&0\\0&1&2&|&0&0&1\\0&0&8&|&2&1&-3 \end{pmatrix}$
$->-{1 \over 8}r_3-> \begin{pmatrix} 1&0&-1&|&1&0&0\\0&1&2&|&0&0&1\\0&0&1&|&-{1 \over 4}&-{1 \over 8}&{3 \over 8} \end{pmatrix}$
$->r_1+r_3,r_2-2r_3-> \begin{pmatrix} 1&0&0&|&{3 \over 4}&-{1 \over 8}&{3 \over 8}\\0&1&0&|&{1 \over 2}&{1 \over 4}&{1 \over 4}\\0&0&1&|&-{1 \over 4}&-{1 \over 8}&{3 \over 8} \end{pmatrix} ={E|A^{-1}}$
$A^{-1}= \begin{pmatrix} {3 \over 4}&-{1 \over 8}&{3 \over 8}\\{1 \over 2}&{1 \over 4}&{1 \over 4}\\-{1 \over 4}&-{1 \over 8}&{3 \over 8} \end{pmatrix}$

口诀：主对调，次反号，除以值

$A= \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} ,A^{-1}={1 \over ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$

矩阵的秩

矩阵 $A$ 的秩用 $R(A)$ 表示
简单来说，矩阵的秩就等于矩阵化为阶梯式后非零行的数量

Ex2. 已知
$A= \begin{pmatrix} 3&1&0&2\\1&-1&2&-1\\1&3&-4&4 \end{pmatrix},求R(A)$

解：
$A= \begin{pmatrix} 3&1&0&2\\1&-1&2&-1\\1&3&-4&4 \end{pmatrix} ->r_1-3r_2,r_3-r_2-> \begin{pmatrix} 0&4&-6&5\\1&-1&2&-1\\0&4&-6&5 \end{pmatrix}$
$->r_3-r_1,r_3-r_2-> \begin{pmatrix} 1&-1&2&-1\\0&4&-6&5\\0&0&0&0 \end{pmatrix} =A_1$
$R(A)=2$

秩的性质
① $0<=R(A_{m*n}<=min\{m,n\})$
② $R(A^\mathrm{T})=R(A)=R(kA) (k<>0)$

③ $若A~B,则R(A)=R(B)$
④ $R(A+B)<=R(A)+R(B)$
⑤ $R(AB)<=min\{R(A),R(B)\}$
⑥ $A为方阵，R(A)=n<=>|A|!=0;R(A)<n<=>|A|=0$

Coco_T_

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