GPS从入门到放弃（十三） --- 接收机自主完好性监测（RAIM）

GPS从入门到放弃（十三） — 接收机自主完好性监测（RAIM）

接收机自主完好性监测（RAIM: Receiver Autonomous Integrity Monitoring）是根据用户接收机的冗余观测值监测用户定位结果的完好性，其目的是在导航过程中检测出发生故障的卫星，并保障导航定位精度。

为了能进行接收机自主完好性监测，必须有冗余的观测量。一般来说，需要可见卫星数5颗以上才可进行完好性检测；需要有6颗以上才可能辨识出故障卫星。

RAIM 的增强版本为 RAIM-FDE（FDE: Fault Detection Exclusion），即故障检测与排除技术，因为需要排除故障卫星，所以必须使用最少6颗可见卫星。

RAIM 算法对于安全性有严格要求的应用非常重要，如民航、航空之类。

RAIM 有不同的实现算法：伪距残差判决法、伪距比较法、校验向量法以及最大解分离法。

伪距残差判决法

在定位方程解算中我们讲过了定位方程组
$\boldsymbol{G} \left[ \begin{array}{c} \Delta x\\ \Delta y\\ \Delta z\\ c\cdot\Delta \delta_{t} \end{array} \right] = \boldsymbol{b}$

其中 $\boldsymbol{b}$ 为伪距残差。在用最小二乘法定位结束后，如果参与定位的卫星数量大于4颗，若定位结果正确，则伪距残差应该是比较小的；若定位结果有错误，则伪距残差会比较大。于是我们可以根据定位后伪距残差的大小来判决定位结果是否正确。这种方法就叫伪距残差判决法。

假设两次定位之间的间隔时间很短（一般情况下也是事实），那么接收机在两次定位之间位置和钟差变化并不大，于是几何矩阵 $\boldsymbol{G}$ 可以认为是不变的。设前一次定位的伪距残差为 $\boldsymbol{b}$，本次定位的伪距残差为 $\boldsymbol{z}$，则：

$\boldsymbol{z} = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{G} \left[ \begin{array}{c} \Delta x\\ \Delta y\\ \Delta z\\ c\cdot\Delta \delta_{t} \end{array} \right] = \boldsymbol{b}-\boldsymbol{G}(\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{b} = [\boldsymbol{I} - \boldsymbol{G}(\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}\boldsymbol{G}^T]\boldsymbol{b}$

令 $\boldsymbol{S}=\boldsymbol{I} - \boldsymbol{G}(\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}\boldsymbol{G}^T$，则 $\boldsymbol{z = Sb}$，可知我们无须计算最小二乘解就可以由 $\boldsymbol{b}$ 算得 $\boldsymbol{z}$，然后检查 $\boldsymbol{z}$ 的各个分量值是否满足判决条件。

一般来说，会设定某个门限值，若 $\boldsymbol{z}$ 的某个分量值高于门限值，则认为某个测量值有问题。

也可以计算伪距残差的平方和：
$SSE = \boldsymbol{z}^T\boldsymbol{z}$

它是一个标量，符合自由度为 $n-4$ 的 $\chi^2$ 分布，其中 $n$ 为观测量个数。可以根据 $SSE$ 的概率分布来计算出给定虚警率下的检测门限值，然后根据这个门限值去判决是否存在错误观测量。

伪距比较法

伪距比较法是直接利用伪距来判决。步骤如下：

1. 在观测数量大于4的情况下，对 $n$ 个观测量进行分组，一组为4个，另一组为 $n-4$ 个。
2. 对4个的那一组进行最小二乘法解算出接收机位置。
3. 对 $n-4$ 个的那一组计算卫星位置。
4. 根据解算出的接收机位置和卫星位置估算伪距。
5. 将估算的伪距与实际观测的伪距进行比较。若比较结果都很接近，说明观测结果没问题，第2步中解算的位置也没问题。否则说明有问题。
6. 对有问题的情况进行处理。得看具体情况。若只有一个比较结果差异很大，则很大概率是那一个观测值有问题；若很多比较结果都差异很大，则很大概率是最小二乘解有问题。若有必要，可以重新分组，重新计算比较判定。

校验向量法

此方法是构造出一个校验矩阵 $\boldsymbol{P}$，然后计算出校验向量 $\boldsymbol{p} = \boldsymbol{Pb}$。判决方法是用 $\boldsymbol{p}$ 向量的模来判决是否出现了观测量错误，然后用 $\boldsymbol{p}$ 向量的元素和原点之间的连线的斜率来判决哪一个伪距观测值出错的概率最大。

$\boldsymbol{P}$ 矩阵的选取并不唯一，可以通过对几何矩阵 $\boldsymbol{G}$ 做 $\boldsymbol{QR}$ 分解来得到，即若 $\boldsymbol{G = QR}$，则 $\boldsymbol{Q}$ 的转置矩阵的底部 $n-4$ 行就是 $\boldsymbol{P}$ 矩阵。

最大解分离法

其基本思想是将 $N (N \ge 5)$ 个伪距观测量分成 $N$ 组，每一组不包含第 i 个伪距观测量， $i=1,2,\cdots,N$。则每组包含 $N-1$ 个观测量，可以用最小二乘法求得一个解，于是可以得到 $N$ 个解。计算这 $N$ 个解之间的两两距离，若距离都很接近，说明全部观测量没有错误；反之，则至少有一个观测量有错误。通过求出两两距离的最大值来跟一个预设的门限值比较来判定是否有观测量出错。

这个方法的缺点是计算量很大，而且出错时不容易排除错误。