GPS从入门到放弃（六） --- 开普勒轨道参数

GPS从入门到放弃（六） — 开普勒轨道参数

开普勒轨道参数是用于描述卫星轨道的，GPS卫星的无摄椭圆轨道运动就是用开普勒轨道参数来描述。参考GPS导航电文，电文中的星历和历书都是用开普勒轨道参数来描述的。

一套开普勒轨道参数包含6个参数：轨道升交点赤经、轨道倾角、近地点角距、长半径、偏心率和真近点角。

• 轨道升交点赤经 $\Omega_0$ （Longitude of Ascending Node of Orbit Plane）
• 轨道倾角 $i_0$ （Inclination Angle）
• 近地点角距 $\omega$ （Argument of Perigee）
• 长半径 $a$ （Semi-Major Axis of Orbit）
• 偏心率 $e$ （Eccentricity）
• 真近点角 $\nu$ （True Anomaly）

要想确定卫星的位置，首先要确定卫星运行轨道所在平面的位置。卫星轨道平面通过地心，与赤道面相交，其夹角就是轨道倾角。卫星轨道在轨道平面内，卫星沿着轨道由南向北运行时与赤道面的交点称为卫星赤道升交点，简称升交点。此升交点在赤道面内与春分点对地心的夹角即为轨道升交点赤经。有了轨道倾角和轨道升交点赤经，就可以确定卫星轨道平面相对赤道面的位置。

轨道平面确定后，需要确定轨道椭圆。近地点角距用于确定椭圆方位，它是近地点在轨道平面内与升交点相对地心的夹角，确定了轨道椭圆长轴的方向。再加上长半径和偏心率，椭圆在轨道平面内的位置就确定下来了。

最后一个参数真近点角用于确定卫星在轨道椭圆上的相对位置，它定义为卫星当前位置在轨道平面内与近地点相对地心的夹角。

于是通过这一套开普勒轨道参数，卫星相对赤道的空间位置就确定了。

对于一颗无摄状态下运行的卫星来说，这一套开普勒参数除了真近点角以外都是常数，而真近点角是时间的函数，且和时间的关系比较复杂。于是GPS卫星星历并不直接给出真近点角 $\nu$，而是给出偏近点角 $E$（Eccentric anomaly）和平近点角 $M$（Mean Anomaly）。
其中在 $t$ 时刻的平近点角 $M$ 是以卫星平均角速度 $n$ 运行的角距，即
$M = n(t-t_0)$
偏近点角 $E$ 和平近点角 $M$ 的关系由开普勒方程给出，即
$M = E - e \sin E$
而偏近点角 $E$ 和真近点角 $\nu$ 的关系如下：
$\cos\nu = \frac{\cos E - e}{1-e\cos E}$
$\sin\nu = \frac{\sqrt{1-e^2}\sin E}{1-e\cos E}$
$\nu = \arctan\left(\frac{\sqrt{1-e^2}\sin E}{\cos E - e}\right)$