GPS从入门到放弃（九） --- 伪距与载波相位

GPS从入门到放弃（九） — 伪距与载波相位

在第一篇GPS基础原理讲过GPS的基本原理，要实现定位，需要知道卫星的位置和卫星到接收机的距离。卫星位置我们根据导航电文可以推算出来（参考GPS卫星位置解算），剩下的就是距离了。

GPS接收机对每颗卫星都可以产生两个基本距离测量值：伪距和载波相位，下面先分别说，再结合起来说。

伪距（Pseudo Range）

伪距就是接收机到卫星之间的大概距离。之所以称之为伪距，是因为其不是真实距离，与真实距离之间有各种各样的误差。本来根据卫星信号的发射时间 $t_s$ 与接收机收到信号的接收时间 $t_u$ 可以得到信号的传播时间，再乘以信号的传播速度光速 $c$ 就可以得到接收机到卫星的距离；但是我们知道卫星时钟和接收机钟存在钟差，而且还有大气层等其他因素的影响，所以这样直接测得的距离不等于接收机到卫星的真实距离，只能称之为伪距 $\rho$ ：
$\rho = c(t_u-t_s)$
假设真实距离为 $r$，接收机与 GPS 时间的钟差为 $\delta_t$，卫星与 GPS 时间的钟差为 $\delta_{t,s}$，再考虑到信号在传播过程中经过大气层的延时，假设因大气电离层导致的延时为 $I$，因大气对流层导致的延时为 $T$，其他各种未考虑到的因素及噪声的导致的延时为 $\epsilon$，则：
$r = c[(t_u-\delta_t)-(t_s-\delta_{t,s}) - I - T - \epsilon]$
于是可得：
$r + c\cdot\delta_t = \rho + c\cdot\delta_{t,s} - cI - cT -c\epsilon$
该式右边可以认为都是已知量，其中 $I$ 和 $T$ 都有相应的模型， $\delta_{t,s}$ 也有模型在导航电文中（参考GPS导航电文）。而
$r = \sqrt{(x-x_{s})^2 + (y-y_{s})^2 + (z-z_{s})^2}$
其中 $(x_s,\ y_s,\ z_s)$ 为卫星位置坐标，
于是有
$\sqrt{(x-x_{s})^2 + (y-y_{s})^2 + (z-z_{s})^2} + c\cdot\delta_t = \rho + c\cdot\delta_{t,s} - cI - cT -c\epsilon$
这就是更加严格准确的GPS定位基本方程，包含 $(x,\ y,\ z,\ \delta_t)$ 四个未知数，针对四颗卫星观测就可以得到4个方程的方程组，可以与第一篇中最后给出的方程组对比一下。

那这个伪距观测量 $\rho$ 我们怎么来得到呢？一般来说，可以由接收机通过观测得到。根据伪距计算公式 $\rho = c(t_u-t_s)$， $t_u$是接收机时间，接收机是知道的，所以我们只需要求出 $t_s$ 就可以了。

$t_s$ 是卫星发送信号的时间，可由接收机接收到的导航电文结合跟踪的C/A码相位来确定。计算公式如下：
$t_s = TOW + (30w + b) \times 0.02 + (n + \frac{CP}{1023}) \times 0.001$
其中 $TOW$ 为导航电文交接字中GPS时间； $w$ 为当前子帧中，接收机已接收到的完整的字的个数； $b$ 为当前字中，接收机已接收到的完整的比特的个数； $n$ 为当前比特中，接收机已接收到的完整的C/A码的个数； $CP$ 为当前C/A码中，接收机已接收到的码片的个数。要注意，这个 $t_s$ 是用卫星时钟的。

一般接收机对C/A码相位的跟踪精度可以达到码片的1% ~ 2%，一个码片是300m左右，于是伪距精度可以达到3 ~ 6m左右。

载波相位（Carrier Phase）

除了通过伪距来测距之外，载波相位也可以用来测距。

我们知道L1载波的的频率为1575.42MHz，波长约为19cm。如果我们能测量出传播路径上两点之间的相位差，那么这两点间的距离就可以求出来。假设 $\phi_u$为接收机复制的卫星载波信号的相位， $\phi_s$为接收机接收到的卫星载波信号的相位，则载波相位测量值（相位差）为
$\phi = \phi_u - \phi_s$
因为载波的波长很短，远远小于接收机到卫星的距离，所以这个相位差中可能包含了 N 个完整的周期，这个 N 我们称之为周整模糊度。
设波长为 $\lambda$，接收机与卫星之间的距离为 $r$，则有
$\phi = \lambda^{-1} r + N$
若再考虑大气电离层导致的延时 $I$、大气对流层导致的延时 $T$、接收机钟差 $\delta t_u$、卫星钟差 $\delta t_s$、以及其他各种未考虑到的因素及噪声的导致的相位差 $\epsilon_\phi$，则有
$\phi = \lambda^{-1}[r + c(\delta t_u-\delta t_s - I + T)] + N + \epsilon_\phi$

如果知道伪距 $\rho$，我们可以用伪距来粗略估算周整模糊度 N，方法为：
$N = \left[\phi - \frac{\rho}{\lambda} \right]$
其中，“[ ]”表示取整运算。当然，因为伪距的精度有限，所以得到的 N 的误差也比较大，可以达到几十周之多。

伪距和载波相位结合

从前面的介绍可以看出，伪距精度不如载波相位高，但是伪距可以实现绝对定位，而载波相位有一个未知的周整模糊度，无法实现绝对定位，如果能把两者结合起来，必然能达到更好的效果。
一种结合的方法是用载波相位来平滑伪距。设 $\rho_k$ 为 k时刻的伪距测量值， $\phi_k$ 为 k时刻的载波相位测量值， $\rho_{s,k}$ 为 k时刻的平滑伪距，有：
$\rho_{s,k} = \frac{1}{M} \rho_k + \frac{M-1}{M} [\rho_{s,k-1} + \lambda(\phi_k - \phi_{k-1})]$
其中 $M$ 为平滑时间常数， $M$ 值越大，平滑伪距结果就越依赖于载波相位变化量，也就越平滑。