GPS从入门到放弃（二十三） --- 相位缠绕

GPS从入门到放弃（二十三） — 相位缠绕

相位缠绕（Phase Wind-Up）是发射端与接收端之间的相对运动导致的载波相位变化。对 GPS 系统来说，因为 GPS 卫星发送的是右旋圆极化（RHCP: Right Hand Circularly Polarized）的信号，在这种情况下，接收机或者卫星天线的旋转会导致载波相位发生改变，这个值可能达到一个载波周期，我们把这种现象叫做相位缠绕。

因为卫星的太阳能电池板必须对着太阳，这样才能尽可能的吸收太阳能。为了把太阳能电池板对准太阳，在卫星经过远日点和近日点附近时，卫星姿态需要发生近 180° 的剧烈翻转，称为正午、子夜机动（noon, midnight turns），这会导致相位缠绕。而卫星的天线必须对地球，以尽量节省发射能量。这也会导致相位缠绕。所以卫星一定会旋转，相位缠绕无法避免。

所幸相位缠绕只影响载波相位测量，不影响码相位测量，在非精密定位中可以忽略其影响。对差分定位来说其影响一般也可以忽略，尤其是短基线的时候。然而对精密单点定位来说，其影响就不能忽略了，因其影响可能会达到分米级。

下面介绍常用的相位缠绕模型。

如下图所示是卫星、地球与太阳的位置关系：

在卫星天线上建立卫星天线坐标系，以卫星的天线相位中心为原点；Z轴沿卫星天线方向指向地心；X轴在地球、太阳和卫星组成的平面内，指向太阳；Y轴与Z轴和X轴构成右手系。于是可以求得三轴方向的单位矢量 $\boldsymbol{e_{xs},\ e_{ys},\ e_{zs}}$ 分别为：

$\boldsymbol{e_{zs} = \frac{-r_{sat}}{|r_{sat}|}} \\ \boldsymbol{e_{ys} = e_{zs}\times e_{sun}} \\ \boldsymbol{e_{xs} = e_{zs} \times e_{ys}}$

其中 $\boldsymbol{r}_{sat}$ 和 $\boldsymbol{r}_{sun}$ 分别是ECEF坐标系中卫星和太阳的位置矢量，而 $\boldsymbol{e}_{sun}$ 是卫星至太阳方向的单位矢量：
$\boldsymbol{e_{sun} = \frac{r_{sun} - r_{sat}}{|r_{sun}-r_{sat}|}}$

计算相位缠绕时，在卫星和接收机处各定义一个有效偶极 $\boldsymbol{D_s}$ 和 $\boldsymbol{D_r}$，且分别对应于星固坐标系和接收机所在位置的站心坐标系，有
$\boldsymbol{D_s＝e_{xs} - e_k (e_k \cdot e_{xs}) - e_k \times e_{ys}} \\ \boldsymbol{D_r＝e_{xr} - e_k (e_k \cdot e_{xr}) + e_k \times e_{yr}} \\ \phi_f＝\mathrm{sign}(\boldsymbol{e_k \cdot (D_s \times D_r)})\arccos(\boldsymbol{\frac{D_s \cdot D_r}{|D_s||D_r|}})$

其中 $\boldsymbol{e_k}$ 为卫星至接收机方向的单位向量， $\boldsymbol{e_{xr}}$、 $\boldsymbol{e_{yr}}$ 为接收机所在位置的站心坐标系的坐标轴方向的单位矢量，而 $\phi_f$ 为相位缠绕值的小数部分。
$\boldsymbol{e_k=\frac{r_r - r_{sat}}{|r_r - r_{sat}|}}$

在 RTKLIB 中是通过调用 windupcorr 函数来进行相位缠绕校正的。此函数的计算过程同上述模型几乎完全一致，这里附上代码，过程很直接，就不多解释了。

void windupcorr(gtime_t time, const double *rs, const double *rr,
                       double *phw)
{
    double ek[3],exs[3],eys[3],ezs[3],ess[3],exr[3],eyr[3],eks[3],ekr[3],E[9];
    double dr[3],ds[3],drs[3],r[3],pos[3],rsun[3],cosp,ph,erpv[5]={0};
    int i;

    trace(4,"windupcorr: time=%s\n",time_str(time,0));

    /* sun position in ecef */
    sunmoonpos(gpst2utc(time),erpv,rsun,NULL,NULL);

    /* unit vector satellite to receiver */
    for (i=0;i<3;i++) r[i]=rr[i]-rs[i];
    if (!normv3(r,ek)) return;

    /* unit vectors of satellite antenna */
    for (i=0;i<3;i++) r[i]=-rs[i];
    if (!normv3(r,ezs)) return;
    for (i=0;i<3;i++) r[i]=rsun[i]-rs[i];
    if (!normv3(r,ess)) return;
    cross3(ezs,ess,r);
    if (!normv3(r,eys)) return;
    cross3(eys,ezs,exs);

    /* unit vectors of receiver antenna */
    ecef2pos(rr,pos);
    xyz2enu(pos,E);
    exr[0]= E[1]; exr[1]= E[4]; exr[2]= E[7]; /* x = north */
    eyr[0]=-E[0]; eyr[1]=-E[3]; eyr[2]=-E[6]; /* y = west  */

    /* phase windup effect */
    cross3(ek,eys,eks);
    cross3(ek,eyr,ekr);
    for (i=0;i<3;i++) {
        ds[i]=exs[i]-ek[i]*dot(ek,exs,3)-eks[i];
        dr[i]=exr[i]-ek[i]*dot(ek,exr,3)+ekr[i];
    }
    cosp=dot(ds,dr,3)/norm(ds,3)/norm(dr,3);
    if      (cosp<-1.0) cosp=-1.0;
    else if (cosp> 1.0) cosp= 1.0;
    ph=acos(cosp)/2.0/PI;
    cross3(ds,dr,drs);
    if (dot(ek,drs,3)<0.0) ph=-ph;

    *phw=ph+floor(*phw-ph+0.5); /* in cycle */
}