LeetCode --- 300. 最长上升子序列

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• 算法策略 ： 动态规划（Dynamic Programming）

给定一个无序的整数序列，求出它最长上升子序列的长度（要求严格上升）
比如 [10，2，2，5，1，7，101，18] 的最长上升子序列是 [2，5，7，101]、[2，5，7，18]，长度是4

动态规划 - 状态定义

• 假设数组是nums，[10，2，2，5，1，7，101，18]
  dp(i)是以nums[i]结尾的最长上升子序列的长度，i ∈ [0，nums.length)

1. 以nums[0] 10结尾的最长上升子序列是10，所以dp(0) = 1
2. 以nums[1] 2结尾的最长上升子序列是2，所以dp(1) = 1
3. 以nums[2] 2结尾的最长上升子序列是2，所以dp(2) = 1
4. 以nums[3] 5结尾的最长上升子序列是2、5，所以dp(3) = dp(1) + 1 = dp(2) + 1 = 2
5. 以nums[4] 1结尾的最长上升子序列是1，所以dp(4) = 1
6. 以nums[5] 7结尾的最长上升子序列是2、5、7，所以dp(5) = dp(3) + 1 = 3
7. 以nums[6] 101结尾的最长上升子序列是2、5、7、101，所以dp(6) = dp(5) + 1 = 4
8. 以nums[7] 18结尾的最长上升子序列是2、5、7、18，所以dp(7) = dp(5) + 1 = 4

• 最长上升子序列的长度是所有dp(i)中最大值max { dp(i) }， i ∈ [0，nums.length)

动态规划 - 状态转义方程

• 遍历 j ∈ [0，i)
• 当nums[i] > nums[j]
  nums[i]可以接在nums[j]后面，行程一个比dp(j)更长的上升子序列，长度为dp(j) + 1
  dp(i) = max { dp(i), dp(j) + 1 }
• 当nums[i] <= nums[j]
  nums[i]不能接在nums[j]后面，跳过此次遍历（continue）
• 状态的初始值
  dp(0) = 1
  所有的 dp(i) 默认都初始化为1

动态规划 - 实现

int lengthOfLIS(int[] nums) {
    if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
    int[] dp = new int[nums.length];
    int max = dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
        dp[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; j++ ) {
            if (nums[i] <= nums[j]) continue;
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
        max = Math.max(dp[i], max);
    }
    return max;
}

• 时间复杂度：O(n)，时间复杂度：O(n^2)