01字典树小结

简介

$01$字典树，就是将字典树中的字符 $a$ ~ $z$换为二进制的 $0/1$，得以存储数的二进制形式。

对于结点 $u$，有代表下一位为 $0$的左儿子： $ch[u][0]$，代表下一位为 $1$的右儿子： $ch[u][1]$

而字典树的根（ $u=0$）表示最高位 $+1$位，故其代表0；字典树的叶结点 $v$则表示最低位，且其具有一个 $val[v]$，即从根（ $u=0$）遍历到该叶子结点 $v$所表示的数（非叶子结点的 $val[u]=0$）。

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用途：

将数字以二进制形式存储为字典树，可以快速地按二进制前缀进行查询，故 可以处理数与数之间进行二进制运算的问题。

其中较为典型的就是异或最值问题。

1. HYSBZ - 4260 Codechef REBXOR —— 序列区间连续异或和最值
2. POJ - 3764 The xor-longest Path —— 边权树连续异或和最值
3. HDU - 5536 Chip Factory —— 带删除操作01字典树求异或最值
4. HDU - 6625 three arrays —— 两序列匹配异或最值
   
   

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模板：

①不带删除操作

a. 初始化

字典树数组一般开的比较大，全部置零会比较耗时，故一般如下操作

const int max_base=31;   //int类型为例
int ch[31*maxn][2],val[31*maxn],tot;  //数组大小为max_base*maxn
void init()
{
    tot=1;                 //根节点编号为0
    ch[0][0]=ch[0][1]=0;   //暂无左右儿子
    val[0]=0;              //值为0
}

b. 插入值 $x$

void ins(int x)
{
    int u=0;
    //从高位到低位对x进行二进制拆分
    for(int i=max_base;i>=0;i--)
    {
        int c=(x>>i)&1;
        if(!ch[u][c])  //该子结点尚不存在，则创建
        {
            //对新的子结点进行初始化
            ch[tot][0]=ch[tot][1]=0;
            val[tot]=0;
            ch[u][c]=tot++;
        }
        u=ch[u][c];   //下一层
    }
    val[u]=x;  //到达叶子结点，赋值
}

c. 查询与 $x$异或的最值

异或运算： $0\oplus0=0,\;1\oplus1=0,\;0\oplus1=1,\;1\oplus0=1$

所以，找最小值，就要找与 $x$当前位相同的；找最大值，就要找与 $x$当前位相异的。

int query_max(int x)        //query_min(int x)
{
    int u=0;
    for(int i=max_base;i>=0;i--)
    {
        int c=(x>>i)&1;
        if(ch[u][c^1])      //if(ch[u][c])
            u=ch[u][c^1];   //    u=ch[u][c]
        else                //else
            u=ch[u][c];     //    u=ch[u][c^1]
    }
    return x^val[u];
}

②带删除操作

实际上此处删除操作并不是真正的从字典树上删除这个数，而是再定义一个数组 $num[u]$，表示结点 $u$被访问的次数（即表示点 $u$是多少个数的前缀）。

• 在插入或复原操作中，令路径上的 $num+1$；
• 在删除操作中，则令路径上的 $num-1$；
• 而在查询遍历时，则不仅要判断子结点 $ch[u][0/1]$是否存在，还要判断其 $num[ch[u][0/1]]$是否 $\gt 0$

a. 初始化

int ch[31*maxn][2],val[31*maxn],num[31*maxn],tot;
void init()
{
    tot=1;
    ch[0][0]=ch[0][1]=0;
    val[0]=0;
    num[0]=0;    //num初始化为0
}

b. 插入值 $x$

void ins(int x)
{
    int u=0;
    num[u]++;   
    for(int i=max_base;i>=0;i--)
    {
        int c=(x>>i)&1;
        if(!ch[u][c])
        {
            ch[tot][0]=ch[tot][1]=0;
            val[tot]=0;
            num[tot]=0;   //新结点num初始化为0
            ch[u][c]=tot++;
        }
        u=ch[u][c];
        num[u]++;    //路径上的num+1
    }
    val[u]=x;
}

c. 删除/还原值x

因为不是真正地删除，所以同样可以还原 之前被删除 的 $x$。

void updata(int x,int op)  //op=-1，删除
{                          //op=1，还原
    int u=0;
    num[u]+=op;
    for(int i=max_base;i>=0;i--)
    {
        int c=(x>>i)&1;
        u=ch[u][c];
        num[u]+=op;    //遍历路径
    }
}

d. 查询与 $x$异或的最值

int query_max(int x)        				//query_min(int x)
{
    int u=0;
    for(int i=max_base;i>=0;i--)
    {
        int c=(x>>i)&1;
        if(ch[u][c^1]&&num[ch[u][c^1]])     //if(ch[u][c]&&num[ch[u][c]])
            u=ch[u][c^1];   				//    u=ch[u][c]
        else                				//else
            u=ch[u][c];     				//    u=ch[u][c^1]
    }
    return x^val[u];
}