POJ - 2115 C Looooops（拓展欧几里得，解同余方程）

链接：POJ - 2115 C Looooops

题意：

一个C语言的for循环：

for(int i=A;i!=B;i+=C)st;

其中i表示变量， $A$、 $B$和 $C$分别表示初值、终值和步长， $st$表示循环体。
要求计算当循环变量i运算在k位无符号整数体系下（运算值范围： $0$ ~ $2^k-1$，此时， $i$+= $C$溢出后截断），循环体 $st$会执行多少次？

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分析：

设执行次数 $x$，那么根据题意，则有： $A+xC\equiv B\pmod {2^k}$

即同余方程： $xC\equiv B-A\pmod {2^k}$

则同余方程可化为方程： $xC=B-A-y\cdot2^k\;\;\;\;\;\;(y\in Z)$

$\implies xC+y\cdot2^k=B-A$

化为： $ax+by=c$，其中 $a=C,\;b=2^k,\;c=B-A$

拓展欧几里得解方程即可，解得特解 $x_0$后，求得最小正整数解 $x_{min}=(x_0\mod t+t)\mod t$
其中 $t=\frac{b}{\gcd(a,b)}$

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以下代码：

#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		d=a;
	}
	else
	{
		exgcd(b,a%b,d,y,x);
		y-=x*(a/b);
	}
}
int main()
{
    LL A,B,C,k;
    LL a,b,c,d,x,y,t;
    while(scanf("%lld %lld %lld %lld",&A,&B,&C,&k)&&A+B+C+k)
    {
        a=C;
        b=1LL<<k;
        c=B-A;
        exgcd(a,b,d,x,y);
        if(c%d!=0)
            printf("FOREVER\n");
        else
        {
            x=x*c/d;
            t=b/d;
            x=(x%t+t)%t;
            printf("%lld\n",x);
        }
    }
    return 0;
}