文章目录
杨辉三角
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int num[1000][1000];///num[i][j]中存储的就是Ci，j
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
num[0][0]=num[1][0]=num[1][1]=1;
for(int i=2;i<1000;i++)/// 把前1000个打表 因为能开的二维数组大小有限 所以只能就到1000的量级
{
num[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i-1;j++)
{
num[i][j]=num[i-1][j-1]+num[i-1][j];
}
num[i][i]=1;
}
cout<<num[n][m]<<endl;
return 0;
}
卡特兰数
http://lanqi.org/skills/10939/
斯特林数
https://blog.csdn.net/qq_39565901/article/details/86671756
第一类斯特林数
第二类斯特林数
卢卡斯定理
https://blog.csdn.net/qq_40744093/article/details/88294340
卢卡斯定理
求解Cmn%P ，m，n较大，p为素数
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N=1e5+2;
LL a[N];
void init(LL p)
{
a[1]=1;
for(int i=2;i<=p;++i)a[i]=a[i-1]*i%p;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(!b){
x=1;
y=0;
return;
}
exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
}
LL ksm(LL x,LL n,LL mod)
{
LL ans=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*x%mod;
n>>=1;
x=x*x%mod;
}
return ans;
}
LL C(LL n,LL m,LL p)
{
if(n==m||m==0)return 1;
if(n<m)return 0;
if(m*2>n)m=n-m; /*C(n,m)=c(n,n-m)*/
return a[n]*ksm(a[m]*a[n-m],p-2,p)%p; /*求(a[m]*a[n-m])在(mod p)意义下的乘法逆元*/
/*拓展欧几里得与费马小定理均可*/
/*LL x,y;
exgcd(a[m]*a[n-m],p,x,y);
return (a[n]*x%p+p)%p;*/
}
LL lucas(LL n,LL m,LL p)
{
if(!m)return 1;
return lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
LL T,n,m,p;
cin>>T;
while(T--){
cin>>n>>m>>p;
init(p);
cout<<lucas(n+m,m,p)<<endl;
}
return 0;
}
扩展卢卡斯定理
求解Cnm%P ，m，n较大，p不为素数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N=1e5+9;
LL A[N],M[N];
LL ksm(LL x,LL n,LL mod)
{
LL ans=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*x%mod;
n>>=1,x=x*x%mod;
}
return ans;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(!b)x=1,y=0;
else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
LL inv(LL a,LL p)
{
LL x,y;
exgcd(a,p,x,y);
return (x+p)%p?x:x+p;
}
LL get(LL n,LL pi,LL p) /*求(与pi互素后的n!)%M[i]*/
{
if(!n)return 1;
LL ans=1;
if(n/p){ /*判断有无循环节 */
for(LL i=2;i<=p;++i)if(i%pi)ans=ans*i%p;
ans=ksm(ans,n/p,p);
}
for(LL i=2;i<=n%p;++i)if(i%pi)ans=ans*i%p; /*循环节剩余部分*/
return ans*get(n/pi,pi,p)%p;
}
LL exlucas(LL n,LL m,LL pi,LL p) /*求A[i]*/
{
LL nn=get(n,pi,p); /*求(与pi互素后的n)%M[i]*/
LL mm=get(m,pi,p); /*求(m!与pi互素后的m!)%M[i]*/
LL nm=get(n-m,pi,p); /*求(与pi互素后的(n-m)!)%M[i]*/
LL k=0; /*含质因数pi的数量*/
for(LL i=n;i;i/=pi)k+=i/pi;
for(LL i=m;i;i/=pi)k-=i/pi;
for(LL i=n-m;i;i/=pi)k-=i/pi;
return nn*inv(mm,p)*inv(nm,p)*ksm(pi,k,p)%p;
}
LL crt(LL len,LL Lcm)
{
LL ans=0;
for(LL i=1;i<=len;++i){
LL Mi=Lcm/M[i];
ans=((ans+A[i]*inv(Mi,M[i])*Mi)%Lcm+Lcm)%Lcm;
}
return ans;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
LL n,m,P,num;
while(cin>>n>>m>>P){
if(n<m){
cout<<0<<endl;
continue;
}
num=0;
memset(A,0,sizeof(A));
memset(M,0,sizeof(M));
for(LL x=P,i=2;i<=P;++i)
if(x%i==0){
M[++num]=1;
while(x%i==0){
M[num]*=i;
x/=i;
}
A[num]=exlucas(n,m,i,M[num])%P;
}
cout<<crt(num,P)<<endl;
}
return 0;
}
生成函数
09年毛杰明论文
收益匪浅
tnbl
有时间写总结
快速傅里叶变换（FFT）
https://blog.csdn.net/zxn0803/article/details/51361111
卷积
求值与插值
拉格朗日插值
https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/78018944
离散傅里叶变换（DFT）
IDFT
FFT
求多项式乘法
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
const double PI = acos(-1.0);
//复数结构体
struct Complex{
double x,y; //实部和虚部, x+yi
Complex(double _x=0.0,double _y=0.0){
x=_x,y=_y;
}
Complex operator - (const Complex &b)const{
return Complex(x-b.x,y-b.y);
}
Complex operator + (const Complex &b)const{
return Complex(x+b.x,y+b.y);
}
Complex operator * (const Complex &b)const{
return Complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);
}
};
/*
* 进行FFT和IFFT前的反转变换。
* 位置i和 （i二进制反转后位置）互换
* len必须去2的幂
*/
void change(Complex y[],int len)
{
int i,j,k;
for(i = 1, j = len/2;i < len-1; i++)
{
if(i < j)swap(y[i],y[j]);
//交换互为小标反转的元素，i<j保证交换一次
//i做正常的+1，j左反转类型的+1,始终保持i和j是反转的
k = len/2;
while( j >= k)
{
j -= k;
k /= 2;
}
if(j < k) j += k;
}
}
/*
* 做FFT
* len必须为2^k形式，
* on==1时是DFT，on==-1时是IDFT
*/
void fft(Complex y[],int len,int on)
{
change(y,len);
for(int h = 2; h <= len; h <<= 1)
{
Complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));
for(int j = 0;j < len;j+=h)
{
Complex w(1,0);
for(int k = j;k < j+h/2;k++)
{
Complex u = y[k];
Complex t = w*y[k+h/2];
y[k] = u+t;
y[k+h/2] = u-t;
w = w*wn;
}
}
}
if(on == -1)
for(int i = 0;i < len;i++)
y[i].x /= len;
}
const int MAXN = 4000010;
Complex x1[MAXN],x2[MAXN];
char str1[MAXN/2],str2[MAXN/2];
int sum[MAXN];
int main()
{
int n,m,x;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
int len = 1;
while(len < n*2 || len < m*2)len<<=1;
for(int i = 0;i < n+1;i++){
scanf("%d",&x);
x1[i] = Complex(x,0);
}
for(int i = n+1;i < len;i++)
x1[i] = Complex(0,0);
for(int i = 0;i < m+1;i++){
scanf("%d",&x);
x2[i] = Complex(x,0);
}
for(int i = m+1;i < len;i++)
x2[i] = Complex(0,0);
//求DFT
fft(x1,len,1);
fft(x2,len,1);
for(int i = 0;i < len;i++)
x1[i] = x1[i]*x2[i];
fft(x1,len,-1);
for(int i = 0;i < len;i++)
sum[i] = (int)(x1[i].x+0.5);
for(int i=0;i<n+m+1;i++)
printf("%d%c",sum[i],(i==n+m)?'\n':' ');
}
return 0;
}
快速沃尔什变换（FWT）
待学
https://www.cnblogs.com/ACMLCZH/p/8022502.html
快速数论变换
待学
https://blog.csdn.net/As_A_Kid/article/details/80503140
